활동 선택 문제

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활동 선택 문제는 각각의 시작 시간과 종료 시간(f_ii)으로 표시된 일련의 활동을 주어진 주어진 주어진 주어진 시간 내에 수행할 충돌하지 않는 활동의 선택에 관한 결합 최적화 문제다.문제는 한 사람이 한 번에 한 가지 활동만 할 수 있다고 가정해 한 사람 또는 기계가 수행할 수 있는 최대 활동 횟수를 선택하는 것이다.활동 선택 문제는 또한 ISMP(Interval Scheduling maximization problemization problemization probleming probleming probleming probleming problem, ISMP)라고도

이 문제의 고전적인 적용은 여러 경쟁 이벤트를 위한 방을 예약하는 데 있으며, 각 이벤트는 고유한 시간 요구사항(시작과 종료 시간)을 가지고 있으며, 운영 연구의 틀 안에서 더 많은 것이 발생한다.

형식 정의

각 활동이 시작 시간 s와_i 종료 시간_i f로 표현되는 n개의 활동이 있다고 가정한다.i와 j 두 가지 활동은 s_i ≥ f_j 또는 s_j ≥ f일_i 경우 충돌하지 않는다고 한다.활동 선택 문제는 비충돌 활동의 최대 해결책 집합(S)을 찾는 데 있거나, 보다 정확하게는 다중 최대 해결책의 크기가 동일한 경우 S' > S와 같은 해결책 집합이 없어야 한다.

최적용액

활동 선택 문제는 탐욕스러운 알고리즘을 사용하여 해결책을 찾는 것이 항상 최적의 해결책이 될 것이라는 점에서 눈에 띈다.알고리즘의 반복 버전에 대한 유사 코드 스케치와 그 결과의 최적성에 대한 증거가 아래에 포함되어 있다.

알고리즘.

탐욕스러운-반복적-활동-선택기(A, s, f):       정렬 A 에 의해 마무리를 짓다 시대 저장된 에 f     S = {A[1]}      k = 1          n = A.길이          을 위해 i = 2 로 n:         만일 s[i] ≥ f[k]:              S = S U {A[i]}             k = i          돌아오다 S 

설명

라인 1: 이 알고리즘을 탐욕스러운-반복적인-활동-선택자라고 하는데, 처음에는 탐욕스러운 알고리즘이고, 그 다음에는 반복적이기 때문이다.이 탐욕스러운 알고리즘의 재귀 버전도 있다.

• ${\displaystyle A}$은(는) 활동을 포함하는 배열이다$$.
• ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 활동 시작 시간을 포함하는 배열이다$.$
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 활동 종료 시간을 포함하는 배열이다$.$

이러한 배열은 1에서 해당 배열의 길이까지의 색인화에 유의하십시오.

라인 3: $어레이{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 저장된 결승 시간을 사용하여$$ 활동 $A$의 배열$$끝 시간 증가 순서로 정렬$.$이 작업은 병합 정렬, 힙 정렬 또는 빠른 정렬 알고리즘을 사용하여 $O{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle O(n\cdot \log n)}$번으로$$ 수행할 수 있다.

라인 4$:$ S {\$displaystyle S}$을(를) 생성하여$$ 선택한 활동을 저장하고, 종료 시간이 가장 빠른$$ A${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[1]$ $활동$으로 초기화한다.

라인 5: 마지막으로 선택한 활동의 인덱스를 추적하는 $변수$ k ${\displaystyle k}$을(를) 생성한다.

라인 9: 해당 어레이 $A$의 두 번째 요소부터 마지막 $요소$까지의 반복을 시작한다$.$

Lines 10,11: If the start time ${\displaystyle s[i]}$ of the ${\displaystyle ith}$ activity (${\displaystyle A[i]}$) is greater or equal to the finish time ${\displaystyle f[k]}$ of the last selected activity (${\displaystyle A[k]}$), then ${\displaystyle A[i]}$ is co세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$에서 선택한 활동에 적합하므로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 추가할 수 있다$.$

12호선:마지막으로 선택한 활동의 색인이 방금 추가된 활동 $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[i]}$로 업데이트된다$.$

최적성 증명

$S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots,n\}}$을(를) 결승 시간별로 정렬된 일련의 활동이 되도록$$ 한다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\subseteq S}$이(가) 피니시 시간으로 정렬된 최적의 솔루션이며, A의 첫 번째 활동 지수가 ${\displaystyle \mathrm{k}}$≠ 1 ${\displaystyle k\neq$ 1$\},$ 즉 이 최적의 솔루션은 욕심 많은 선택으로 시작하지 않는다고 가정해 보십시오.탐욕스러운 선택(활동 1)으로 시작하는 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle k\}}$ ${\displaystyle )\{1}$} ${\displaystyle B=(A\setminus \{k\}}\cup \{1$이(가) 또 다른 최적의 해결책임을 보여주겠다.$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$와 A에서의 활동은 정의상 분리되므로 B에서의 활동도 해체된다.B는 A와 같은 수의 활동을 하기 때문에, 즉 ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle B}$ $displaystyle$ A = B $\},$ B도 최적이다.

일단 탐욕스러운 선택이 이루어지면 문제는 하위 문제에 대한 최적의 해결책을 찾는 것으로 줄어든다.If A is an optimal solution to the original problem S containing the greedy choice, then ${\displaystyle A^{\prime }=A\setminus \{1\}}$ is an optimal solution to the activity-selection problem ${\displaystyle S'=\{i\in S:s_{i}\geq f_{1}\}}$.

왜? 만약 그렇지 않다면, S에 대한 탐욕스러운 선택이 포함된 A than보다 더 많은 활동이 있는 S′에 대한 해결책 B′을 선택하라.그러면 B에 1을 더하면 A보다 더 많은 활동으로 S에 실현 가능한 해결책 B를 산출하게 되어 최적성과 모순된다.

가중활동선택문제

활동 선택 문제의 일반화된 버전은 총 가중치가 극대화되도록 최적의 비과잉 활동 세트를 선택하는 것을 포함한다.가중치 없는 버전과 달리 가중치 있는 활동 선택 문제에 대한 탐욕스러운 해결책은 없다.그러나 동적 프로그래밍 솔루션은 다음과 같은 접근방식을 사용하여 쉽게 구성할 수 있다.^[1]

활동 k를 포함하는 최적의 솔루션을 고려하십시오.우리는 지금 k의 왼쪽과 오른쪽에서 겹치지 않는 활동을 하고 있다.우리는 최적의 하부 구조 때문에 이 두 세트에 대한 해결책을 재귀적으로 찾을 수 있다.k를 모르기 때문에 각각의 활동을 시도해 볼 수 있다.이 접근방식은 $O{\displaystyle ({n\mathrm{}}^{}}$3 ) ${\displaystyle O(n^{3})$ 솔루션으로$$ 이어진다.이는${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle (i,j$의 각 활동 집합에 대해$,{\displaystyle }$ 우리가 (${\displaystyle i}$ ,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (i,t)}$에 대한 솔루션을 알고 있었다면 최적의 솔루션을 찾을 수 있다는 점을 고려할 때 더 최적화될 수 있다$.$ 여기서 t는 (${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystylease (i,$${\displaystyle {}^{}}$$)$와 마지막 비overlapping sty) 구간이다$.$ 이 값은 $O{\displaystyle (2^{}}$).${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle O(n^{2})$ 솔루션$$.이는 모든 범위$({\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle (i,j)}$을(를) 고려할 필요가 없고 ${\displaystyle \mathrm{대신}}{\displaystyle }$(${\displaystyle 1,}$j )$${\$displaystyle ($1,j$)}$만을 고려할 필요가 있다는 사실을 고려할 때 더욱 최적화될 수 있다$.$ 따라서 다음 알고리즘은 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log }$n${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ O$(n\log n)$ 솔루션을$$ 산출한다.

가중치-활동-선택(S):  // S = 활동 목록      분류하다 S 에 의해 마무리를 짓다 시간     선택하다[0] = 0  // opt[j]는 S[1,2,j]에 대한 최적 솔루션(선택한 활동의 가중치 합계)을 나타낸다.         을 위해 i = 1 로 n:         t = 이진의 샅샅이 뒤지다 로 찾아내다 활동 와 함께 마무리를 짓다 시간 <= 출발하다 시간 을 위해 i             // 이러한 활동이 두 개 이상 있는 경우 마지막 마감 시간이 있는 활동을 선택하십시오.         선택하다[i] = 맥스.(선택하다[i-1], 선택하다[t] + w(i))              돌아오다 선택하다[n] 

참조

외부 링크

• 활동 선택 문제