자야블로프 바인딩

코딩 이론에서, Zyablov 바운드는 결합된 코드로 달성할 수 있는 $비율{\displaystyle }$$$ r ${\displaystyle r}$ 및$$ 상대 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$에 대한 하한이다.

바운트 명세서

바운드는 속도 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 및$$ 상대 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를) 가진 $q{\displaystyle }${\$displaystyle q}$ -ary$$(concatened, 선형) 코드의 제품군이 항상 존재함을 명시한다.

${\displaystyle r\leqslant \max \limits _{0\leqslant r'\leqslant 1-H_{q}(\delta )}r'\cdot \left(1-{\delta \over {H_{q}^{-1}(1-r')}}\right)}$,

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -ary$$ 엔트로피 함수임

${\displaystyle {Hq}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {\log }_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}q}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- x ${\displaystyle {\log }_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$)${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathrm{로그}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle H_{q}(x)=x\log _{q}(q-1)-x\log _{q}-(1-x)$$_{q}.$

설명

바운드는 "좋은" 외부 코드 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ t ${\$와 "좋은" 내부 코드 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\$를 연결함으로써 얻을 수 있는 파라미터의 범위를 고려함으로써 얻는다$.$ 구체적으로는 외부 코드가 Singleton 바운드를 충족한다고 가정한다. 즉, rate ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t ${\$.$e r_{out}}$and relative distance ${\displaystyle \delta _{out}}$ satisfying ${\displaystyle r_{out}+\delta _{out}=1}$. Reed Solomon codes are a family of such codes that can be tuned to have any rate ${\displaystyle r_{out}\in (0,1)}$ and relative distance ${\displaystyle 1-}$${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t ${\$코드 워드 길이만큼 큰 알파벳에 표시).내부 코드가 Gilbert-Varshamov 바인딩을 충족한다고 가정한다. 즉, 속도 ${\displaystyle r_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 상대$$ 거리 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을 $만족$하는 r ${\displaystyle i_{}{n}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$(${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle r_{in$+{in$}$을 만족한다고 가정한다.$H_{q}(\delta _{in}\geq 1$ 무작위 선형 코드는 이 속성을 높은 확률로 만족시키는 것으로 알려져 있으며, 속성을 만족하는 명시적 선형 코드는 (메시지 공간 크기에서 시간 다항식이 필요하다) 브루트 포스 검색으로 찾을 수 있다.

The concatenation of ${\displaystyle C_{out}}$ and ${\displaystyle C_{in}}$, denoted ${\displaystyle C_{out}\circ C_{in}}$, has rate ${\displaystyle r=r_{in}\cdot r_{out}}$ and relative distance ${\displaystyle \delta ={\delta }_{out}\cdot {\delta }_{in}\ge (1-r_{out})\cdot {}_{}^{}}$${\displaystyle \delta =\delta _{out}\cdot \delta _{in}\$$}$

$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t ${\$을 $\Delta {\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 함수로$$ 표현$,$

${\displaystyle r_{out}\geq 1-{\frac {\delta }{H^{1}(1-r_{in}}}}}}}}$

$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음 r ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle r_{in$의 선택에 따라 최적화를 수행하면 연결된 코드가 충족될 수 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle r\geq \max \limits _{0\leq r_{in}\leq {1-H_{q}(\delta )}}}}}}}{{in}}}}}\cdot \좌측(1-{\delta \{{{{{}}}}\ri}}}}}\rip)}\rim)}}$

이 바인딩의 플롯은 그림 1을 참조하십시오.

Zyablov 바인딩은 모든 > ${\displaystyle \delta >0$에 대해 양의 비율과 양의 상대적 거리를 가진 (concatenated) 코드가 존재함을 암시한다는 점에 유의하십시오.

언급

우리는 다항식 시간에 묶인 Zyablov를 성취하는 코드를 만들 수 있다.특히 다항식 시간에 (일부 알파벳에 걸쳐) 명시적으로 점증적으로 좋은 코드를 구성할 수 있다.

선형 코드는 다항식 표현을 가지고 있기 때문에 선형 코드는 위 문장의 증거를 완성하는 데 도움이 될 것이다.Let Cout be an ${\displaystyle [N,K]_{Q}}$ Reed–Solomon error correction code where ${\displaystyle N=Q-1}$ (evaluation points being ${\displaystyle \mathbb {F} _{Q}^{*}}$ with ${\displaystyle Q=q^{k}}$, then ${\displaystyle k=\theta (\log N)}$.

길버트-바르샤모프 바인딩에 있는 내부 코드를 만들어야 해이것은 두 가지 방법으로 할 수 있다.

1. ${\displaystyle {Ci}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대해 필요한 속성이 만족할 때까지 모든 제너레이터 행렬에 대해 전체 검색을 수행하려면 다음과 같이 하십시오$.$Varshamov 바인딩은 $Q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle O^{}}$( ${\displaystyle k^{}}$ n$){\$시간이$$ 걸리는 길버트-바르샤몬 바인딩에 있는 선형 코드가 존재한다고 명시하고 있기 때문이다.Using ${\displaystyle k=rn}$ we get ${\displaystyle q^{O(kn)}=q^{O(k^{2})}=N^{O(\log N)}}$, which is upper bounded by ${\displaystyle nN^{O(\log nN)}}$, a quasi-polynomial time bound.
2. $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle Q^{}}$(${\displaystyle {n)}^{}}$ ${\$에 구성하고 (${\displaystyle N{}^{}}{\displaystyle }$O${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 1^{}}$ )$${\$displaystyle (N)^{O$(1$)}}}}$에 전체 시간을 사용하십시오.이는 무작위 선형 코드가 높은 확률의 바운드에 있다는 증거에 대한 조건부 기대 방법을 사용함으로써 달성할 수 있다.

따라서 우리는 다항식 시간에 바인딩된 Zyablov를 달성하는 코드를 구성할 수 있다.

참고 항목

• 싱글톤 바운드
• 길버트-바르샤모프 바인딩

참조 및 외부 링크

• 필수 코딩 이론에 대한 MIT 강의 노트 – 마두 수단 박사
• 버팔로 대학교 코딩 이론 강의 노트 - 닥터아트리 루드라
• 워싱턴 대학교 코딩 이론 강의 노트 - 벤카테산 구루스와미 박사