삼합법

트라이어드는 해롤드 블랙으로 인해 우주선 태도 결정 문제에 대한 가장 빠르고 간단한 해결책 중 하나이다.^[1][2]블랙은 존스 홉킨스 응용물리연구소에서 미 해군의 트랜짓 위성 시스템에 대한 지도, 항법, 제어의 개발에 핵심적인 역할을 했다.문헌에서 분명히 알 수 있듯이, TRIAD는 와바의 문제와^[3] 그것의 몇 가지 최적의 해결책이 등장하기 훨씬 전의 우주선 태도 결정에서 실천 상태를 나타낸다.위성의 기준 좌표와 신체 좌표에 있는 두 벡터에 대한 지식을 바탕으로, TRIAD 알고리즘은 두 프레임과 관련된 방향 코사인 행렬을 얻는다.블랙의 고전적 솔루션에 대한 공분산 분석은 이후 마크리에 의해 제공되었다.^[4]

요약

We consider the linearly independent reference vectors ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ and ${\displaystyle {\vec {R}}_{2}}$. Let ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}}$ be the corresponding measured directions of the reference unit vectors as resolved in a차체 고정 기준 프레임그리고 방정식에 의해 연관되어 있고

${\displaystyle {\vec{R}_{i}=A{\vec{r}_{i}}$

(1)

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ i$=1,2$ 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 회전 행렬($예{\displaystyle {}^{}}$: A ${\displaystyle T}$ A${\displaystyle }$= I${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle d}$ e ${\displaystyle t}$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= +$$ {\$displaystyle$ A^{T$}A=I, 디테일(A)=+1}이라고$도 한다.$$${\displaystyle A}$은(는) 차체 고정 프레임의 벡터를 기준 벡터의 프레임으로 변환한다$$.다른 특성들 중에서 회전 행렬은 그들이 작동하는 벡터의 길이를 보존한다.방향 코사인 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$도 교차 제품 벡터를 변환하며 다음과 같이 기록됨:

${\displaystyle {\vec{R}_{1}\time {\vec{R}_{2}=A\reft({\vec{r}_{1}time {\vec{r}_{2}\right)}}}$

(2)

Triad는 코사인 행렬 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$ 방향의 추정치를 다음과 같은 선형 시스템 방정식에 대한 솔루션으로$$ 제안한다.

${\displaystyle \left[{\vec{R}_{1}~\vdots ~{{R}_{2}~\vdots ~\좌측({\vec {R}_{1}번 {\vec}_{2}\right)\right]=A\left[{\vec{r}_{1}~\vdots ~{\vec{r}_{2}~\vdots ~\좌측({\vec{r}_{1}\times{\vec}_{2}\right]}}}$

(3)

여기서 $⋮{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vdots }$은(는) 서로 다른 열 벡터를 분리하는 데 사용되었다$$.

위에 제시된 해결책은 무소음 사례에서 잘 작동한다.단, $실제로{\displaystyle {\stackrel{}{}r}_{\mathrm{}}}$ →${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\stackrel{}{}}}$ → ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}${\$displaystyle {\vec{r}_{1},{\$vec${r}_{2}}:$ 자세 행렬($또는$ 방향 코사인 행렬)의 직교성 상태는 위의$$ 절차로 보존되지 않는다.트라이어드는 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 우아한 절차를 포함하고 있다.이를 위해 단위 벡터를 정의한다.

${\displaystyle {\hat{S}={\frac {{\vec{R}_{1}:{1}{\vec{R}}}}$

(4)

${\displaystyle {\hat{s}}={\frac {{\vec{r}_{1}:{1}{\vec{r}}}}$

(5)

그리고

${\displaystyle {\hat{M}={\frac {{\bec{R}_{1}\time {\vec{R}_{1}:{\vec {R}}{1}{1}}}{\vec {R}}}}}}}}}}}}}}$

(6)

${\displaystyle {\m}={\frac {{\bec {r}_{1}}\properties {\bec{r}}{\vec {{r}}{1}{1}}}}}}}$

(7)

(3)의 처음 두 열 대신 사용한다.이들의 교차 생산물은 다음과 같은 방법으로 주어진 우주선 자세에 적합한 직교 행렬을 얻는 방정식의 선형 시스템에서 세 번째 열로 사용된다.

${\displaystyle \left[{\hat {S}~\vdots ~{\hat {M}~\vdots ~{\hat {M}\오른쪽]=A\왼쪽[{\hat {{s}~\vdots ~{\hat {{m}~\vdots ~{\hat{s}\times{\m}\오른쪽]$

(8)

방정식 (4) - (7)의 정규화는 필요하지 않지만, (8)의 선형 시스템을 풀 때 계산상의 이점을 얻기 위해 수행되었다.따라서 우주선 자세의 추정치는 다음과 같이 적절한 직교 행렬에 의해 제시된다.

${\displaystyle {\hat {A}}=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right]^{T}}$

(9)

이 절차에서 행렬을 역행렬로 대체함으로써 계산 효율성이 달성되었다는 점에 유의하십시오.이것은 계산 태도와 관련된 행렬이 각각 정형 기초 벡터의 3중으로 구성되어 있기 때문에 가능하다."TRIAD"는 이 관찰에서 그 이름을 따왔다.

트라이어드 자세 매트릭스 및 측정 기준

트라이어드 방법은 추정 과정에 사용된 기준 벡터와 본체 벡터의 손길에 관계 없이 항상 적절한 직교 행렬을 생성한다는 점에 유의해야 한다.이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.Eq. (8)를 다음이 제공한 매트릭스 형식으로 다시 쓰도록 합시다.

$\displaystyle \Gamma =A\Delta }$

(10)

where ${\displaystyle \Gamma :=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]}$ and ${\displaystyle \Delta =\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {$$\hat{m}\오른쪽.$$}$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 열이 왼손 3중첩을 형성하면$$ 벡터 간의 일대일 대응으로 인해 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta$}의 열도 왼손잡이 된다는$$ 점에 유의하십시오$$.이것은 유클리드 기하학에서 어떤 두 벡터 사이의 각도가 변환을 조정하기 위해 불변으로 남아 있다는 단순한 사실 때문이다.따라서 결정요인 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\$은 열이 각각 오른손인지 왼손인지에 따라$$ 각각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$} 또는$$ $-{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1$}이다$$( 유사하게 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$± 1 ${\delta =\pm$ 1$).$Eq. (10)의 관계 양쪽의 결정요인을 취하여 다음과 같이 결론짓는다.

$좌회전식 det.p.p.}$

(11)

분석가는 기준 및 측정된 벡터 수량의 특성에 관계없이 항상 적절한 직교 행렬이 보장되기 때문에 이는 실제 적용 시 상당히 유용하다.

적용들

트라이어드는 트랜짓 위성 시스템(미 해군이 항법용으로 사용)의 원격 측정 데이터를 처리하는 태도 결정 기법으로 사용되었다.트랜짓 시스템의 원리는 지구 위치 확인 시스템 위성 별자리를 만들었다.애플리케이션 문제에서 기준 벡터는 일반적으로 알려진 방향(예: 항성, 지구 자기장, 중력 벡터 등)이다.차체 고정 벡터는 온보드 센서(예: 스타 트래커, 자력계 등)에서 관찰한 측정 방향이다.마이크로 전자공학이 발전하면서 트라이어드 같은 태도 결정 알고리즘은 현대 사회에 미치는 영향이 큰 다양한 기기(예: 스마트폰, 자동차, 태블릿, UAV 등)에서 제자리를 찾았다.

참고 항목

• 자세 역학 및 제어
• 방향(지오메트리)
• 와바의 문제

참조