스핀 강성

스핀 강성 또는 스핀 강성 또는 헬리시티 계수 또는 "초유체 밀도"는 스핀의 느린 평면 비틀림을 도입한 결과 스핀 시스템의 지면 상태 에너지 변화를 나타내는 상수이다.이 상수의 중요성은 양자 위상 전이의 지표로 사용되는데, 특히 Mott 절연체와 같은 금속 절연체 전이가 있는 모델에서 그러하다.또한 퀀텀 홀 효과에서와 같이 베리 위상 및 체른 수 같은 다른 위상 불변량과도 관련이 있습니다.

수학적으로

수학적으로 다음 방정식으로 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle \rho _{s}=\displayac {{2}}{\displayac {E_{0}(\theta)}{N}_{\theta =0}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 E 0$({$은 그라운드 상태 에너지,$\delta {\displaystyle }$({$displaystyle \theta})$는 비틀림 각도, N은 격자 부위의 수입니다.

하이젠베르크 모델의 스핀 강성

간단한 하이젠버그 스핀 해밀턴으로 시작합니다.

${\displaystyle H_{\mathrm {Heisenberg}}=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}S_{j}^{+}\right]}$

이제 z축을 중심으로 θ_i 각도만큼 시스템의 부위 i에 회전을 도입합니다.

${\displaystyle S_{i}^{+}\오른쪽 화살표 S_{i}^{+}e^{i\theta_{i}}$

${\displaystyle S_{i}^{-}\오른쪽 화살표 S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}$

하이젠버그 해밀턴호에 다시 꽂습니다.

$\displaystyle H(\theta _{ij})=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}e^{i\theta_{i})S_{j}^{-}e^{-i\theta_{j}+S_{i}^{-}e^{-i\theta_{i}S_{j}^{+}e^{i\theta_{j}}\right]}$

이제 θ_ij = - - and_ij 、 MacLaurin 확장을 통해 θ_ij = 0 정도로 확장되도록 합니다. θ의_ij 2차까지만 항을 유지합니다.

${\displaystyle H_{\mathrm {Heisenberg}}-J\sum _{<ij>}\left[\theta _{ij}J_{ij}^{(s)}-{\cfrac {1}{2}}\theta _{ij}^2}T_{ij}^{(s)}\right]}$

여기서 첫 번째 항은 θ와 독립적이며 두 번째 항은 작은 θ에 대한 섭동이다.

${\displaystyle {\mathrm{Ji}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{i2}{}}$( ${\displaystyle S_{}^{}}$i + ${\displaystyle S_{}^{}}$j${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle S_{}^{}}$i - ${\displaystyle S_{}^{}}$j${\displaystyle {}_{}^{}}$+$$) { $display style$ J_${ij}^{s$}= $scfrac {i}{2}{j}^{-}-S_{i}^{-}-}-S_{i}^{-}^{-}-}^{j$+}}^{{{{+}}}}^{+}}}}}}^{-}}^{-}}}}}}}}}^{j+}}}}}}}}}}}}}$_s_s$+}

${\displaystyle {\mathrm{Ti}}_{}}$ j $=$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$( ${\displaystyle {}_i^{}}$ + ${\displaystyle S_{}^{}}$j${\displaystyle {}_{}^{}}$- + ${\displaystyle {}_i^{}}$ - ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^j}$+$$) { $style$ T_${ij$}= $scfrac {1}{2}(S_{i}^{-}+S_{i}^-}S_{j$}^{-}+S_{j$}^{-}^{+}^{$j+}^{+}}^{{{}}}}}}}는 "회전 에너지이다.

이제 동일한 트위스트의 경우, 오직 x축을 따라_x 가장 가까운 인접 결합을 따라 존재하는 경우 스핀 강성이 지면 상태의 에너지의 차이와 관련이 있기 때문에.

$\displaystyle E(\theta)-E(0)=N\rho_{s}\theta_{x}^2}$

그리고 작은 θ에_x 대해 2차 섭동 이론의 도움을 받아 다음을 얻는다.

${\displaystyle \rho _{s}=black {1}{N}\left[{\cfrac {1}{2}\rangle +\sum _{\nu \neq 0}{\black {\nu 0j_{x}{(s)}\nu \rangle ^{{-E} }$

「 」를 참조해 주세요.

• 스핀파

레퍼런스

• S.E. Krüger; R. Darradi; J. Richter; D.J.J. Farnell (2006). "Direct calculation of the spin stiffness of the spin-(1/2) Heisenberg antiferromagnet on square, triangular, and cubic lattices using the coupled-cluster method". Physical Review B. 73 (9): 094404. arXiv:cond-mat/0601691. Bibcode:2006PhRvB..73i4404K. doi:10.1103/PhysRevB.73.094404.
• J. Bonča; J.P. Rodriguez; J. Ferrer; K.S. Bedell (1994). "Direct calculation of spin stiffness for spin-1/2 Heisenberg models". Physical Review B. 50 (5): 3415–3418. arXiv:cond-mat/9405069. Bibcode:1994PhRvB..50.3415B. doi:10.1103/PhysRevB.50.3415. PMID 9976600. S2CID 32495059.
• T. Einarsson; H.J. Schulz (1994). "Direct Calculation of the Spin Stiffness in the J₁−J₂ Heisenberg Antiferromagnet". Physical Review B. 51 (9): 6151–6154. arXiv:cond-mat/9410090v1. Bibcode:1995PhRvB..51.6151E. doi:10.1103/PhysRevB.51.6151. PMID 9979543. S2CID 22218061.
• B.S. Shastry; B. Sutherland (1990). "Twisted boundary conditions and effective mass in Heisenberg–Ising and Hubbard rings". Physical Review Letters. 65 (2): 243–246. Bibcode:1990PhRvL..65..243S. doi:10.1103/PhysRevLett.65.243. PMID 10042589.
• R.R.P. Singh; D.A. Huse (1989). "Microscopic calculation of the spin-stiffness constant for the spin-(1/2) square-lattice Heisenberg antiferromagnet". Physical Review B. 40 (10): 7247–7251. Bibcode:1989PhRvB..40.7247S. doi:10.1103/PhysRevB.40.7247. PMID 9991112.
• R. G. Melko, A. W. Sandvik, and D. J. Scalapino1 (2004). "Two-dimensional quantum XY model with ring exchange and external field". Physical Review B. 69 (10): 100408–100412. arXiv:cond-mat/0311080. Bibcode:2004PhRvB..69j0408M. doi:10.1103/PhysRevB.69.100408. S2CID 119491422.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)