바로 가기 모델

통계 역학에서 중요한 문제는 모델 행동의 시스템 차원에 대한 의존성이다.이러한 의존성을 연구하는 과정에서 지름길 모델이^[1][2] 도입되었다.모델은 정수 치수의 이산형 정규 격자 사이를 보간한다.

소개

개별적인 정기 격납고에서 서로 다른 프로세스의 행동은 상당히 광범위하게 연구되어 왔다.그들은 규칙적인 격자의 치수에 대한 비종교적인 의존을 포함하여 다양한 행동들을 보여준다.^{[3][4][5][6][7][8][9][10][11]}최근 몇 년 동안 그 연구는 정기적인 격자에서 복잡한 네트워크로 확장되었다.지름길 모델은 여러 과정과 그 과정들의 차원에 대한 의존을 연구하는 데 사용되어 왔다.

복잡한 네트워크의 치수

일반적으로 치수는 적절한 한도에서 일부 속성의 스케일링 지수를 기반으로 정의된다.우리가 사용할 수 있는 한 가지 특성은 거리에 따른 부피 확장이다^[2].For regular lattices ${\displaystyle \textstyle \mathbf {Z} ^{d}}$ the number of nodes ${\displaystyle \textstyle j}$ within a distance ${\displaystyle \textstyle r(i,j)}$ of node ${\displaystyle \textstyle i}$ scales as ${\displaystyle \textstyle r(i,j)^{d}}$.

물리적 문제에서 발생하는 시스템의 경우, 보통 정점 사이의 일부 물리적 공간 관계를 식별할 수 있다.직접 연결된 노드는 여러 링크로 분리된 노드보다 서로에 더 많은 영향을 미칠 것이다.따라서 노드를 연결하는 최단 경로의 길이로 노드${\displaystyle }$$$ $i{\displaystyle }$ ${\$과(와$)$ $j{\displaystyle }$ ${\$$(i,j$$)$ 사이의$$ 거리를 정의할 수 있었다.

복잡한 네트워크의 경우 볼륨을 $노드{\displaystyle }$ i ${\$ $i$$\}$의 거리 r$($ , ${\displaystyle j}$ )$displaystyle \textstyle r(i,j)}$ 내에 있는 $노드{\displaystyle }$수({\$displaystystyle \textstyle$ i$\})$로 정의할 수 있으며 차원은 다음과 같이 정의될 수 있다.거리에 따라 볼륨의 스케일링 동작을 최소화한다.For a vector ${\displaystyle \textstyle {\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{d})\in \mathbf {Z} ^{d}}$, where ${\displaystyle \textstyle d}$ is a positive integer, the Euclidean norm ${\displaystyle \textstyle \ {\vec {n}}\ }$ is defined as the Euclidean distance from$n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$즉,

${\displaystyle \{\vec{n}\ ={\sqrt {n_{1}^{2}+\cdots +n_{d}^{2}}.}$

그러나 복잡한 네트워크에 일반화하는 정의는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{1$} 표준이다$$.

${\displaystyle \{\vec{n}\ _{1}=\ n_{1}\ +\cdots +\n_{d}\ .}$

스케일링 속성은 유클리드 표준과 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ 표준$$ 모두에 대해 유지된다.스케일링 관계는

${\displaystyle V(r)=kr^{d}}$

여기서 d는 복잡한 네트워크의 정수일 필요는 없다.${\displaystyle k}$ $[\$은 복잡한 네트워크에 따라 달라지는 기하학적 상수다$$.스케일링 관계 Eqn이 ${\displaystyle \mathrm{유지}}$되는 경우, 표면적 S(${\displaystyle }r{\displaystyle }$) ${\$$r$$)}$을(를) 지정된 노드에서 $정확히$ 거리 $r{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \textstyle r}$에 있는 노드 수로 정의할$$ 수도 있다$.$

${\displaystyle S(r)=kdr^{d-1}.}$

복잡한 네트워크 제타 함수에^[1] 기초한 정의는 거리에^[2] 따른 볼륨의 스케일링 특성에 기초한 정의를 일반화하고 수학적으로 견고한 기초 위에 놓는다.

바로 가기 모델

바로 가기 모델은 1차원 일반 격자 위에 구축된 네트워크로 시작한다.그런 다음 가장자리를 추가하여 격자의 원격 부분을 서로 연결하는 바로가기를 만든다.시작 네트워크는 주기적인 경계 조건을 가진 $N{\displaystyle }$ ${\$ 정점의$$ 1차원 격자다.각 꼭지점은 양쪽의 이웃에 연결되며, 이는 $N{\displaystyle }$ ${\$ 가장자리가$$ 있는 시스템을 만든다.네트워크는 각 노드를 차례로 가져가며, 확률 $p{\displaystyle }$ ${\$ p}과$($와$)$ 함께 새로운 $위치{\displaystyle }$m {\$displaystyle \textstyle$ m$$$}$ 노드에 에지를 추가함으로써 확장된다.

재와이어링 공정을 통해 모델은 1차원 일반 격자와 2차원 일반 격자 사이를 보간할 수 있다.재배선 $확률{\displaystyle }$p = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \textstyle p=0$$}$일 때, 우리는 N $크기{\displaystyle }$ ${\$ $\$$textstyle N}$의$$${\displaystyle \mathrm{1차원}}$ 일반 격자를 $가지고$ 있다. p = 1${\displaystyle }${\$displaystyle p=1}$일 때$,$ 모든 노드는 새로운 위치에 연결되고 그래프는 본질적으로 $m{\displaystyle }${\$displaystystylease$ stylean을 가진 2차원 격자로 되어 있다.$\textstyle m}$ 및$$ $N{\displaystyle }$/ ${\displaystyle m}$ ${\$ 노드$$ 각 방향.$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ 사이의$$ p ${\$에 대해 1차원 및 2차원 일반 래치 사이에 보간하는 그래프가 있다$.$우리가 연구한 그래프는 에 의해 매개 변수화된다.

${\displaystyle {\text{size}=N,\,}$

${\displaystyle {\text}=m,\,}$

${\displaystyle {\text{rewning probability}=p.\,}$

전력 법률 잠재력의 확장성에 대한 적용

위의 차원의 정의를 사용한 한 가지 애플리케이션은 $r{\displaystyle }$ ${\$의 거리와 $교호작용$이 1 /${\displaystyle }$r ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ /$r^{\alpha }}}}}}}}}$의 전력 법칙 잠재성을 가진 통계역학 시스템의 확장성에 대한 것이었습니다$.$$e{\displaystyle \mathrm{}}$ 에너지는 0${\displaystyle \alpha }$ α ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ 1 ${\$ 1$\},$ 즉 $N{\displaystyle }$ →$【\$만큼 N보다 빠르게 증가할 때 광범위하게 동작하지 않는다$.$ 여기서 N은 시스템의 스핀 수입니다.

해밀턴을 사용하는 Ising 모델을 고려하십시오(N spins 포함).

${\displaystyle H=-{\frac {1}{1}2}}\sum _{i,j}J(r(i,j)s_{i}s_{j}}}}$

where ${\displaystyle \textstyle s_{i}}$ are the spin variables, ${\displaystyle \textstyle r(i,j)}$ is the distance between node ${\displaystyle \textstyle i}$ and node ${\displaystyle \textstyle j}$, and ${\displaystyle \textstyle J(r(i,j))}$ are the couplings betwe빙글빙글 돌면서$J{\displaystyle (}$ ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$)${\$의 $동작{\displaystyle \mathrm{}}$1 / ${\displaystyle r{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}${\$displaystyle \textstyle \r^{\alpha$ $\}\}\}\}$을(를) 가질 때 전력 법칙 잠재력이 있다.일반 복합 네트워크의 경우 해밀턴의 확장성을 보존하는$$ 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$의 조건을 연구했다.영온에서 회전당 에너지는 에 비례한다.

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}J(r(i,j)),}$

따라서 확장성은 $\rho {\displaystyle }$ ${\$을(를) 유한해야 한다.일반 복합 $네트워크{\displaystyle }$ ${{\$은(는) Riemann zeta 함수 $\zeta {\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$- d${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\$에 비례한다$.$그러므로, 잠재력이 광범위하기 위해서, 사람들은

$\displaystyle \d.\,}$

연구된 다른 프로세스들은 자체적인 무작위 보행과 네트워크 크기에 따른 평균 경로 길이 확장이다.이러한 연구는 바로 가기 확률이 0에서 증가함에 따라 차원이 급격히 변화한다는 흥미로운 결과를 이끌어낸다.^[12]치수의 급격한 변화는 1에 비해 큰 거리로 구분된 점에 대해 조합적으로 많은 수의 가용 경로로 설명되어 왔다.^[13]

결론

바로 가기 모델은 다양한 프로세스의 치수 의존성을 연구하는 데 유용하다.연구된 프로세스에는 치수의 함수로써의 동력법 잠재력의 행동, 자기 회피 무작위 보행의 행동, 평균 경로 길이의 척도가 포함된다.정의는 많은 유사성을 가지기 때문에, 바로 가기 모델을 소세계 네트워크와 비교하는 것이 유용할 수 있다.소세계 네트워크에서도 일반 격자로 시작하여 확률 $[\$ p$}$와 함께 바로 가기를 추가하지만, 바로 가기는 앞에 고정된 거리에 있는 노드에 연결하도록 제한되지 않는다$.$대신, 바로 가기의 다른 쪽 끝은 임의로 선택한 노드에 연결할 수 있다.그 결과, 소세계 모델은 바로 가기 확률이 증가함에 따라 2차원 그래프보다는 무작위 그래프에 치우치는 경향이 있다.

참조