산란율

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전자빔이 물질을 통과할 때의 산란률에 대한 공식은 수학적으로 도출할 수 있다.

상호 작용 그림

교란되지 않은 해밀턴을 H $({$으로, 시간 의존형 해밀턴을 H $({$ H_${1})$로, 총 해밀턴을$$H({$displaystyle$H$\})$로 정의합니다.

동요되지 않은 해밀턴의 고유 상태는 다음과 같이 가정된다.

${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}\}$

${\displaystyle H_{0} k\rangle = E(k) k\rangle }$

상호작용 그림에서 상태 ket은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle k(t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar}k(t)\rangle _{S}=\sum _{k'}c_{k'}(t) k'\rangle }$

슈뢰딩거 방정식에 따르면

$(\displaystyle i\hbar\frac{\rangle t}k(t)\rangle _{I}=H_{1I} k(t)\rangle _{I}$

총 $(디스플레이 스타일$ H$)$가 ${\displaystyle {\mathrm{H1}}_{}}$ I$($ H$)$로 대체된 슈뢰딩거 방정식입니다.$I$

미분 방정식을 풀면 n-상태의 계수를 구할 수 있다.

$({displaystyle c_{k'}(t)=\display _{k,k'}-{\frac {i}}}\int _{0}^{t}dt'\;\displayle k'H_{1}(t') k\rangle , e^{i(E_{k}-E_{k}-{k'}-{k'}/'})\t})$

여기서 0차 항과 1차 항은 다음과 같습니다.

${\displaystyle c_{k'}^{(0)}=\display_{k,k'}$

${\displaystyle c_{k'}^{(1)=-{\frac {i}{\hbar}}\int _{0}^{t}dt'\;\notle k' H_{1}(t') k\rangle , e^{-i(E_{k}-E_{k'}}}}'/\hbar }}}}$

이행률

k $′$ {$displaystyle$ k } \ $rangle$}을 찾을 확률은 ${\displaystyle {c{}^{}}_{}}$ k${\displaystyle {{}^{}(}_{}}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${$ $displaystyle c$_ { $k$} ($t )^$ {$2}$} { ${\displaystyle the{}_{}}$ the 。

지속적인 섭동이 있는 경우 ${\displaystyle {c{}^{}}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {(}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle 1_{}^{}}$) {$displaystyle c_{k'}^{(1)}$는 다음과 같이 계산됩니다.

$({displaystyle c_{k'}^{(1)}=blac {e_{k'}-E_{k}}}(1-e^{i(E_{k'}-E_{k})-t/hbar}})$

${\displaystyle c_{k'}(t) ^{2}= \displayle \k' H_{1} k\rangle ^{2}{\frac {Sin^{2}({\frac {E_{k'}-E_{k}})}{{2\hbar}}}{{{\frac {\frac {E_{k}}}-{k}}{k}}}}$

다음 방정식을 사용하여

$\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {sin^2}(\alpha x)}=\frac (x)}$

초기 $상태{\displaystyle }$k(\$displaystyle$ k$)$에서 최종 $상태{\displaystyle {}^{}}$ k$(\$ k$')$로의 전자의 전이 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle P(k,k')=frac {2\pi }{\hbar}} \sublle \k' H_{1} k\rangle ^{2}\sublic (E_{k'}-E_{k})}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 E k$(\$ 및$$ ${\displaystyle {E{}^{}}_{}}$ k$${\(\$displaystyle E_{k'})$는 섭동 상태를 포함한 초기 및 최종 상태의 에너지이며 $(\displaystyle \delta})$ - 함수가$$ 에너지 절약을 나타냅니다.

산란율

산란 속도 w(k)는 초기 상태 k에서 최종 상태 k'로 전자 산란의 가능한 모든 유한 상태 k'를 합산하여 결정되며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle w(k)=\sum _{k'}P(k,k')=sum frac {2\pi}{\hbar}}\sum _{k'}\sum \cl \k'H_{1}k\rangle ^{2}\cl (E_{k'-E_{k})$

적분형식은

${{displaystyle w(k)=black {2\pi}{\hbar}}{(2\pi)^{3}}\int d^{3}k' \cl \k' H_{1} k\rangle ^2}\cl (E_{k'-E_{k}}}}}$

레퍼런스

• C. Hamaguchi (2001). Basic Semiconductor Physics. Springer. pp. 196–253.
• J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Addison Wesley Longman. pp. 316–319.