S추정기

S-추정기의 목표는 M-추정기의 유연성과 양호한 점근 특성을 공유하는 단순한 고분산 회귀 추정기를 갖는 것입니다."S-Estimators"라는 이름은 규모의 추정치에 기초하기 때문에 선택되었습니다.

다음을 만족하는 함수 ${\$ {\ $displaystyle \rho$ 에 의해 정의된 규모의 추정치를 고려할 것이다.

$\rho$ – ${\$ { $displaystyle \rho$ }는 $\rho$ 대칭이며 연속적으로 미분 가능하며 $\rho (0)=0$ ( $\rho (0)=0$ ) $= 0$ { $displaystyle \rho$ ( 0 )= 0 $\rho (0)=0$ } 입니다.
R2 – $[c,\infty ]$ > $c>0$ { $display$ $style$ c $>$ 0 이 $c>0$ 하기 $c>0$ 때문에 $\rho$ [c , $]$ { $displaystyle \rho$ $\rho$ $}$ 엄밀하게 증가합니다.

모든 실수의 $\{r_{1},...,r_{n}\}$ { $\{r_{1},...,r_{n}\}$ , $\{r_{1},...,r_{n}\}$ . . . , r n $}$ { $displaystyle$ \ { $r$ _ {1 $}$ , , $s(r_{1},...,r_{n})$ $\{r_{1},...,r_{n}\}$ _ { $n$ } }에 $\{r_{1},...,r_{n}\}$ 대해 스케일 추정치 $s(r_{1},...,r_{n})$ s ( $s(r_{1},...,r_{n})$ 1 $s(r_{1},...,r_{n})$ , . , $s(r_{1},...,r_{n})$ n $s(r_{1},...,r_{n})$ ){ $displaystyle s$ ( r _ {1} , $r$ _ { $n$ } )를 $s(r_{1},...,r_{n})$ 다음과 같이 정의합니다.

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ n ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ i ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ ( ( ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ / ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ { { $textstyle$ { $frac {$ { n } \ $sum$ _ { i ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ = $1$ }^{ $n}$ \ $rho$ ( $r$ _ { $i$ } / s ) $=$ K ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$ } ,

$K$ 서 K $(\displaystyle$ K $)$ 는 $K$ 표준 정규 $\rho$ 에 대한 ${\(\displaystyle\rho)$ 의 $\rho$ 기대값입니다.(상기 방정식에 더 많은 해답이 있는 경우 s에 대해 가장 작은 해로 s(r 1, . $s(r_{1},...,r_{n})=0$ , $s(r_{1},...,r_{n})=0$ ) $=$ $s(r_{1},...,r_{n})=0$ (\ $display$ s( $r_{1$ }..., $r_{$ n})= $0}$ 을 $s(r_{1},...,r_{n})=0$ 합니다.) $s(r_{1},...,r_{n})=0$

정의:

$(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ , $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ 1 ) $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ , $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ . $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ , ( $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ n , $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ n $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ ) { $displaystyle$ ( $x$ _ ${1$ } , $y$ _ { n } , ... ( x _ { n , $y$ _ { $n$ $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ } ) $x_{i}$ 。각 벡터 ${\$ \ $displaystyle \ta$ $}$ , r $s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$ 에 대해, ( $s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$ x_ ${n$ $}$ )의 $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ 회귀 데이터의 샘플이 됩니다 $s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$ eta $), ...r_{$ n}(\ $theta)}),$ 위의 $s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$ 스케일 방정식을 풀면 $됩니다$ . 여기서 $\rho$ {\ $displaystyle \rho }$ 는 $\rho$ R1 및 R2를 만족합니다. ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ $^$ { $displaystyle$ { $hat }$ 는 ${\hat {\theta }}$ 다음과 같이 정의됩니다.

$(\displaystyle {\hat {theta }}=\min _{\theta },s(r_{1}(theta),...r_{n}(theta)}),$

그리고 최종 척도 ${\hat {\sigma }}$ $^$ { $style$ } {\ $hat$ ^ { style } { $hat }$ }

${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ( ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ 1 ( ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ) , . , ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ( ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ )^ ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ) \ $style$ { $hat$ { $hat$ } = ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ s ( r _ { $1$ } ) , $r _$ { n } ( { $\ hat$ { theta $}$ ) ${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ ^[1]} } } 。

레퍼런스

^ P. Rouseuu와 V.Yohai, S-추정자에 의한 Robust Regression, 책: 견고하고 비선형적인 시계열 분석, 256-272쪽, 1984년

[1] P. Rouseuu와 V.Yohai, S-추정자에 의한 Robust Regression, 책: 견고하고 비선형적인 시계열 분석, 256-272쪽, 1984년

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