리에즈 재배열 불평등

In mathematics, the Riesz rearrangement inequality (sometimes called Riesz-Sobolev inequality) states that for any three non-negative functions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ and ${\displaystyle h:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^{}}$${\displaystyle {}^{+}}$ ${\$이(가) 불평등을 충족함$$

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x-y)h(y)\,dx\,dy\leq \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x-y)h^{*}(y)\,dx\,dy,}$

where ${\displaystyle f^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle g^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ and ${\displaystyle h^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ are the symmetric decreasing rearrangement$각각$ f ${\displaystyle f},$ g$$${\displaystyle g}$ 및 h ${\displaystyle$ h$} 함수$의 s.

역사

이 불평등은 1930년 프리게스 리에스에 의해 처음 증명되었고,^[1] S.L에 의해 독자적으로 책망되었다.1938년 소볼레프 임의로(단순히) 많은 변수에 작용하는 많은 함수를 일반화할 수 있다.^[2]

적용들

리에츠 재배열 불평등은 폴리야-스제그 불평등을 증명하는 데 사용될 수 있다.

교정쇄

1차원 케이스

1차원 사례에서, 불평등은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f},$$g$ ${\displaystyle g},$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 함수가 유한한 구간 결합의 특성 함수일 때 먼저 입증된다. 그런 다음 불평등은 측정 가능한 집합의 특성 함수로 확장될 수 있고, 제한된 수의 값을 취하는 측정 가능한 함수와 마지막으로 음의 측정 가능한 함수로 확장될 수 있다.^[3]

고차원 케이스

1차원 사례에서 고차원 사례로 전달하기 위해 구면 재배치는 슈타이너 대칭에 의해 근사치로 계산되며, 이 경우 푸비니의 정리에 의해 1차원 주장이 직접 적용된다.^[4]

평등 사례

세 가지 함수 중 어느 하나라도 엄격히 대칭 감소 함수인 경우, 평등은 다른 두 함수가 변환에 따라 대칭 감소 재배열과 동일할 때만 유지된다.^[5]

참조