완만한 교차로

m 집합의 완화된 교차로는 집합 간의 일반적인 교차로에 해당하지만 빈 교차로를 피하기 위해 소수의 집합을 완화할 수 있습니다.이 개념을 사용하여 소수의 제약 조건을 완화함으로써 일관성이 없는 제약 만족 문제를 해결할 수 있습니다.모수 추정을 위해 경계 오류 접근법을 고려할 때, 완화된 교차로를 통해 일부 특이치에 대해 강건할 수 있다.

정의.

m개의 ${\displaystyle {서브셋\mathrm{}}_{}}$X${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$X ${\displaystyle m_{}}$({$displaystyle$$X_$${$1$},\dots,X_{$m$$$\})$의 X_${$ ${\displaystyle {\}}^{}}$ $=$ { ${\displaystyle \stackrel{}{q}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}{}_{}}$({$displaystyle$ X$^{\q$\} =\$big_cap$} $^{x$}) {$}$$$} 。${\displaystyle X_{i$}}$$s($최대{\displaystyle }$ q$\displaystyle$q$$ 제외).이 정의는 그림 1에 나타나 있습니다.

${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ) $=$ 카드 { i ${\displaystyle x{i}_{}}$ X i ${\displaystyle \}}$. { displaystyle \ $displaytext${$card$} \$left$ \ { $i$ $\$ $\ in$X _ { i$}$ \ right \ } 를 정의합니다.$}$

$X{\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {\}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$( [${\displaystyle m}$ -${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle m]}$ )$$. { $displaystyle$ X^ { \ { q \ } = \ $lambda$^ { - $1$（ [ m -$q$ , m$$] ） 。$}$

따라서 q완화 교차로를 특징짓는 것은 일련의 반전 문제입니다.^[1]

예

8개의 인터벌에 대해 검토합니다.${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle }1$${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 4]}$, {\ $displaystyle$${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ _ { 1 } ${\displaystyle \text{=}}$ [ ${\displaystyle 1}$, $]$ , { 2$$} $=$\ [ 2 , $4$${\displaystyle {}_{}}$$$ , { $displaystyle X$$$${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}${ $2$${\displaystyle }$} $=$ [$2$ , $7$ , 7${\displaystyle }$$、$ { $7$} , ${\displaystyle \mathrm{4<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; X\_\{3\}=[2,7],\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ba7b91e36dc6f2c88dfaa80d1ee0bf336644c5c7"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.376ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="44">}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 、}$$\displaystyle X_{6}=[3,7]$$}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle X^{\{0\}}=\emptyset,}$ ${\displaystyle X^{\{1\}}=[3,4],}$ ${\displaystyle X^{\{2\}}=[3,4],}$ ${\displaystyle X^{\{3\}}=[2,4]\cup [6,7],}$ ${\displaystyle X^{\{4\}}=[2,7],}$ ${\displaystyle X^{\5\}}=[1,9],}$ $\displaystyle X^{\{6\}=]-\infty,\infty [.}$

완만한 간격 교차로

완화된 구간 교차는 구간이 아닙니다.따라서 결과의 간격 선체를 취합니다.$(\$i$\})$가 간격인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ 완만한 교차는 Marzullo 알고리즘을 사용하여 m.log(m)의 복잡도로 계산할 수 있습니다.$함수{\displaystyle }$to { displaystyle \ $lambda$를 나타내는 m 간격의 하한과 상한을 모두 정렬하면 충분합니다. 그러면 쉽게 세트를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle X^{\{q\}}=\lambda^{-1}([m-q,m])}$

간격의 합성에 해당합니다.그런 다음 이 결합을 포함하는 최소 간격을 반환합니다.

그림 2는 위의 예와 관련된 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$($$x ) \ $displaystyle$\ $lambda ( x$ )를 나타내고 있습니다.

완만한 박스 교차로

${\displaystyle R^{}}$ n$${\$displaystyle R^{$n$\}\}$의 m박스의 q완화 교차를 계산하기 위해 n축에 대해 모든 m박스를 투영한다.m 구간의 n개 그룹 각각에 대해 q-완화 교차를 계산한다.결과 간격 n개의 데카르트 곱을 반환합니다.^[2] 그림 3은 6개의 상자의 4완완화 교차로를 보여줍니다.빨간색 상자의 각 점은 6개 상자 중 4개에 속합니다.

릴랙스 유니언

${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle$ X_${1},\dots, X_{m})$의 q완화 결합은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {{q\}}{\bigcup }}X_{i}=\bigcap ^{\{m-1-q\}X_{i}}$

q=0일 때 이완 결합/교차는 고전 결합/교차에 해당합니다.좀 더 정확히 말하면

$\displaystyle \bigcap ^{\{0\}}X_{i}=\bigcap X_{i}$

그리고.

$({displaystyle}{0\}}{\bigcup}}X_{i}=\bigcupX_{i})$

드 모르간의 법칙

X$({$가 $({$ X_${i$의 $보완{\displaystyle {}_{}}$ 세트인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$,

${\displaystyle {\bigline ^{\q\}X_{i}}=오버헤드{{q\}}{\bigcup}}{\overline {X_{i}}}}$

${\displaystyle {{\overline }{\bigcup }}X_{i}}=\bigcap ^{\{q\}}{\overline {X_{i}}}.}$

결과적으로

${{displaystyle {\bigcap\}X_{i}}=오버라인 {{m-q-1\}}{\bigcup}}=\bigcap ^{\m-q-1\}}{\오버라인 {X_{i}}}}}}}=\오버라인 {\오버라인 {X_{i}}}}$

계약자의 완화

${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle C_{1},$ \$dots, C_{m}$을 $세트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ m {$displaystyle X_{$1}, \$dots, X_{$m$\}$의 계약자로 합니다.

${\displaystyle C(x)=\bigcap ^{\{q\}}C_{i}([x])}$

${\displaystyle X^{}}${ q $}$ { $displaystyle$ X^ { \ { q \$$} } $isor$ for 。

$({displaystyle {C}}([x])=\bigcapa^{\{m-q-1\}{\overline {C}}_{i}([x])}))$

는 X ${\displaystyle {\{}^{}}$ { q $}$ {\$displaystyle {X}$ {{\{$q$의 계약자입니다.

${\displaystyle {C}_{1},\dots,{\overline {C}_{m}}$

청부업자

${\displaystyle {X}_{1},\dots,{\overline {X}}_{m}.}$

SIDIA(Set Inversion Via Interval Analysis) 등의 분기 및 경계 알고리즘과 조합하여 ${\displaystyle R^{}}$ n$(\$ R$^{n})$의 m개 서브셋의 q완화 교차를 계산할 수 있습니다.

제한 오류 추정에 적용

q완화 교차로는 견고한 현지화^[4] 또는 트래킹에 사용할 수 있습니다.^[5]

견고한 관찰자는 특이치에 대해 견고하기 위해 완화된 교차로를 사용하여 구현될 수도 있다.^[6]

우리는 여기에 그 방법을 설명하기 위한 간단한 예를 제안한다.ih 모델의 출력이 다음과 같이 주어진 모델을 고려합니다.

${\displaystyle f_{i}(p)=flac {1}{\displayrt {2\pi p_{2}}}}\exp {(t_{i}-p_{1}}{2p_{2}}}}$

$여기$서 p${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$2 (\$displaystyle$ p$\in$ R$^{2$ )는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{i}(p)\in [y_{i}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서$$t\$displaystyle t_{$i$$}${\displaystyle }$및 [${\displaystyle y_{}}$ i$]$ {$displaystyle [y_{$i]}는$$ 다음 목록으로 지정됩니다.

$(\displaystyle \{(1,[0;0.2]), (2,[0.3;2]), (3,[0.3;2]), (4,[0.1;0.2]), (5,[0.4;2]), (6, [-1;0.1])\}}$

$다른{\displaystyle }$ q$\displaystyle$$q{\displaystyle {}^{}}$$$\$lambda$^{-$1}(q)$ 세트$$ ${\displaystyle {-}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 (${\displaystyle q}$)를 그림 4에 나타냅니다.

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