상대우도

통계에서, 우리가 약간의 데이터를 제공받았다고 가정하고, 우리는 그 데이터에 대한 통계적 모델을 선택하고 있다.상대우도성은 서로 다른 후보 모델 또는 단일 모델 모수의 다른 값의 상대적 타당성을 비교한다.

모수 값의 상대적 우도

매개변수 $θ$ 을 가진 통계적 모델을 가진 일부 데이터 $x$ 가 주어진다고 가정합시다. ${\hat {\theta }}$ 에 대한 최대우도 추정치가 ^ ${\hat {\theta }}$ {\ $displaystyle$ {\ $hatta}}$ 이라고 가정합시다 ${\hat {\theta }}$ $다른$ values 값의 상대적인 그럴듯한 가능성은 ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ ${\$ 의 확률과 비교함으로써 찾을 수 있다 ${\hat {\theta }}$ $θ$ 의 상대적 가능성은 다음과^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] 같이 정의된다.

{\frac {~{\mathcal {L}(\theta \mid x)~{{\mathcal {L}({\hat {\theta }}\mid x)~}}

여기서 ${\mathcal {L}}(\theta \mid x)$ x ${\mathcal {L}}(\theta \mid x)$ ) ${\displaystyle {\mathcal{L}(\theta \mid$ x $)}$ 은 우도 함수를 나타낸다 ${\mathcal {L}}(\theta \mid x)$ .따라서 상대우도는 고정분모 ${\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)$ ( ${\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)$ ${\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)$ ${\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)$ x $){\displaystyle {\mathcal{L}({\hat{\theta}}}\mid$ x $)}$ 의 우도비 입니다 ${\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)$

함수

\theta \mapsto {\frac {~{\mathcal{L}{{\theta \mid x)}{{\mathcal {L}{\hata{\}}}

상대우도함수 입니다.

우도 영역

우도 영역은 상대우도가 주어진 임계값보다 크거나 같은 $θ$ 의 모든 값의 집합이다.백분율 측면에서 $θ$ 에 대한 1% 확률 영역은 다음과 같이 정의된다.^[1]^[3]^[6]

\left\{\theta :{\frac {{\mathcal {{L}{{\theta \}}{\theta \}}}{\mid x)}}{\frac {p}{100}\rig\}}.

$θ$ 이 단일 실제 매개변수인 경우, $p$ % 우도 영역은 대개 실제 값의 구간으로 구성된다.지역이 구간으로 구성되면 우도 구간이라고 한다.^[1]^[3]^[7]

우도 구간 및 더 일반적인 우도 영역은 우도 기반 통계량("우도성" 통계량) 내의 구간 추정에 사용된다.그것들은 빈번한 통계에서 신뢰 구간과 베이시안 통계에서 신뢰 구간과 유사하다.우도 구간은 커버리지 확률(수시론)이나 후시 확률(베이지안주의)이 아닌 상대 우도의 관점에서 직접 해석된다.

모형의 경우, 우도 구간을 신뢰 구간과 비교할 수 있다. $θ$ 이 단일 실제 매개변수인 경우, 특정 조건에서 $θ$ 에 대한 14.65%의 우도 구간(약 1:7 확률)은 95% 신뢰 구간(19/20 범위 확률)과 동일하다.^[1]^[6]로그 우도의 사용에 적합한 약간 다른 공식(Wilks의 정리 참조)에서, 검정 통계량은 로그 우도의 두 배 차이가 되며, 검정 통계량의 확률 분포는 대략 카이 제곱 분포로 두 모델 사이의 df-s의 차이와 같다(따라서).e, $e우도$ ⁻² 구간은 0.954 신뢰 구간과 동일하며, df-s의 차이를 1로 가정한다.^[6]^[7]

모형의 상대적 우도

상대우도의 정의는 다른 통계적 모형을 비교하기 위해 일반화될 수 있다.이러한 일반화는 AIC(Akaike 정보 기준) 또는 때로는 AICc(보정 기능이 있는 Akaike 정보 기준)에 근거한다.

주어진 데이터의 경우 $M$ 과₁ $M$ 이라는₂ 두 가지 통계적 모델이 있다고 가정합시다.또한 $AIC(M 1)$ ≤ $AIC(M 2$ )라고 가정한다 $.$ 그 다음에 $M$ 에₁ 관한 $M$ 의₂ 상대적 우도를 다음과 같이 정의한다.^[8]

\exp \left({\frac {\operatorname {AIC}(M_{1}-\operatorname {AIC})(M_{2}}{2}}\오른쪽)

이것이 이전 정의의 일반화임을 확인하려면, (다변량) 매개변수 θ을 가진 $일부$ 모델 $M$ 이 있다고 가정해 보십시오.그런 다음 모든 $θ$ 에 $대해 2$ M = $M ($ ${\hat {\theta }}$ )을 설정하고M = $M$ ${\hat {\theta }}$ $\$ ^ {\ $displaystyle {\hat{\theta}}})$ 도₁ 설정하십시오 ${\hat {\theta }}$ 일반적인 정의는 이제 이전의 정의와 동일한 결과를 제공한다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c ^d Kalbfleisch, J.G. (1985), Probability and Statistical Inference, Springer, §9.3
^ Azzalini, A. (1996), Statistical Inference — Based on the likelihood, Chapman & Hall, §1.4.2, ISBN 9780412606502
^ ^a ^b ^c Sprott, D.A. (2000), Statistical Inference in Science, Springer, chap. 2
^ Davison, A.C. (2008), Statistical Models, Cambridge University Press, §4.1.2
^ Held, L.; Sabanés Bové, D.S. (2014), Applied Statistical Inference — Likelihood and Bayes, Springer, §2.1
^ ^a ^b ^c Rossi, R.J. (2018), Mathematical Statistics, Wiley, p. 267
^ ^a ^b Hudson, D.J. (1971), "Interval estimation from the likelihood function", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 33: 256–262
^ Burnham, K. P.; Anderson, D. R. (2002), Model Selection and Multimodel Inference: A practical information-theoretic approach, Springer, §2.8

[Kalbfleisch-1] Kalbfleisch, J.G. (1985), Probability and Statistical Inference, Springer, §9.3

[2] Azzalini, A. (1996), Statistical Inference — Based on the likelihood, Chapman & Hall, §1.4.2, ISBN 9780412606502

[Sprott-3] Sprott, D.A. (2000), Statistical Inference in Science, Springer, chap. 2

[4] Davison, A.C. (2008), Statistical Models, Cambridge University Press, §4.1.2

[5] Held, L.; Sabanés Bové, D.S. (2014), Applied Statistical Inference — Likelihood and Bayes, Springer, §2.1

[Rossi2018-6] Rossi, R.J. (2018), Mathematical Statistics, Wiley, p. 267

[Hudson-7] Hudson, D.J. (1971), "Interval estimation from the likelihood function", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 33: 256–262

[8] Burnham, K. P.; Anderson, D. R. (2002), Model Selection and Multimodel Inference: A practical information-theoretic approach, Springer, §2.8

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