상대 게인 어레이

RGA(Relative Gain Array)는 다변수 프로세스 제어 시스템에 ^[1]가장 적합한 입출력 쌍을 결정하기 위해 널리 사용되는 전형적인^{[citation needed]} 방법입니다.이것은 많은 실용적인 개방 루프 및 폐쇄 루프 제어 애플리케이션을 가지고 있으며 안정성 및 견고성과 ^[2]같은 많은 기본적인 정상 상태 폐쇄 루프 시스템 특성 분석과 관련이 있습니다.

정의.

비선형 $\mathrm {G}$ G $(\$ 로 표현되는 LTI(Linear Time-Invariant) 시스템이 주어졌을 때 상대 이득 배열(RGA)은 다음과 같이 정의됩니다.

\mathrm {R} =\Phi(\mathrm {G} ) =\mathrm {G} \display {\mathrm {G} ^{-1}}}^{T}

여기서 ${\$ ${\displaystyle$ \ $circ }$ 는 $\circ$ 두 행렬의 요소별 Hadamard 곱으로, $\mathrm {G}$ G {\ $displaystyle \mathrm {G$ 에도 전치 연산자(공역 없음)가 필요합니다.각 i $\mathrm {R} _{i,j}$ ${i,j}$ $,$ j, j, j $,$ \ $displaystyle$ ${i$ $, mathrm$ { $R} _i}$ 는 ${i,j}$ $\mathrm {R} _{i,j}$ 불변 단위입니다 $.$ bariant) $입력$ i에 대한 $출력$ j(\ $displaystyle$ i $i$ 의 $j$ 의존성 측정.

특성.

다음으로 ^[3]RGA의 선형 대수 속성을 나타냅니다.

$\Phi (\mathrm {G} )$ ( $\Phi (\mathrm {G} )$ ) \ $displaystyle$ \ $Phi$ ( \ $mathrm$ { $G }$ )의 $\Phi (\mathrm {G} )$ 각 행과 열의 합계는 1입니다.
비스듬한 대각 $\mathrm {D}$ D $(\$ ${D$ $})$ $\mathrm {E}$ E(\displaystyle \ $mathrm$ {E $})$ 의 경우 $)=$ \ $mathrm$ { $E})$
$\mathrm {P}$ P {\ $displaystyle \mathrm {$ $P$ $}$ 및 $\mathrm {Q}$ {\ $displaystyle \mathrm {$ $Q$ $\mathrm {Q}$ 의 경우, P $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ ( $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ ) $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ ( $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ G $\mathrm {P} \Phi (\mathrm {G} )\mathrm {Q} =\Phi (\mathrm {P} \mathrm {G} \mathrm {Q} )$ ) \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { P } \ $Phi$ ( \ $mathrm$ { $G = Ph$ ) $\mathrm {Q}$ $=$ Ph
마지막으로 $φ$ ( $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ - $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ ) $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ ( $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ ) $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ ( $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ ) $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ （ \ $displaystyle \Phi$ ( \ $mathrm { G$ } ^ { - 1 ） = \ $Phi$ ( \ $mathrm$ { $G$ } = \ $Phi$ { \ $mathrm$ { $G ^$ { } $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ } = \ Phi { } $\Phi (\mathrm {G} ^{-1})=\Phi (\mathrm {G} )^{T}=\Phi {(\mathrm {G} ^{T})}$ } ）。

두 번째 속성은 G의 $\mathrm {G}$ 과 $열의$ 0이 아닌 스케일링에 $대해$ RGA가 불변함을 나타냅니다 $그래서$ RGA는 다른 입력 및 출력 변수에서 단위를 선택할 때 불변합니다.세 번째 속성은 RGA가 $\mathrm {G}$ 의 $\mathrm {G}$ 또는 열의 순열과 관련하여 일치함을 나타냅니다(\style $\mathrm {G}$

일반화

RGA는 G $(\$ 의 ${\mathrm {G}}$ 역수를 Moore-Penrose 역(^[4]의사역)으로 대체함으로써 G(\displaystyle \mathrm {G $})$ 가 ${\mathrm {G}}$ 단수(예: 비제곱)인 경우에 사용하기 위해 일반적으로 일반화되어 있다.단, 무어-펜로즈 유사 역행은 RGA(위의 #2)의 임계 스케일 불변성 특성을 보존하지 못하기 때문에 일반화된 단위 일관성(UC) 역행성을 사용해야 ^[5]하는 것으로 나타났다.^[6]

레퍼런스

^ Bristol, E.H. (1966), "On a new measure of interaction for multivariable process control", IEEE Transactions on Automatic Control, 1: 133–134, doi:10.1109/TAC.1966.1098266
^ Chen, Dan; Seborg, D.E. (2002), "Relative Gain Array Analysis for Uncertain Process Models", AIChE Journal, 48 (2): 302–310, doi:10.1002/aic.690480214
^ Johnson, C.R.; Shapiro, H.M. (1986), "Mathematical aspects of the relative gain array (A◦A^−T)", SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods, 7 (4): 627–644, doi:10.1137/0607069
^ van de Wal, M.; de Jager, B. (2001), "A review of methods for input/output selection", Automatica, 37 (4): 487–510, doi:10.1016/S0005-1098(00)00181-3
^ Uhlmann, Jeffrey (2019), "On the Relative Gain Array (RGA) with Singular and Rectangular Matrices", Applied Mathematics Letters, 93: 52–57, arXiv:1805.10312, Bibcode:2018arXiv180510312U, doi:10.1016/j.aml.2019.01.031, S2CID 44092817
^ Qasim Al Yousuf, Rafal; Uhlmann, Jeffrey (2021), "On Use of the Moore-Penrose Pseudoinverse for Evaluating the RGA of Non-Square Systems", Iraqi Journal of Computers, Communications, Control & Systems Engineering, 3 (21): 89–97, arXiv:2106.09766, doi:10.33103/uot.ijccce.21.3.8, S2CID 235485155

[1] Bristol, E.H. (1966), "On a new measure of interaction for multivariable process control", IEEE Transactions on Automatic Control, 1: 133–134, doi:10.1109/TAC.1966.1098266

[2] Chen, Dan; Seborg, D.E. (2002), "Relative Gain Array Analysis for Uncertain Process Models", AIChE Journal, 48 (2): 302–310, doi:10.1002/aic.690480214

[3] Johnson, C.R.; Shapiro, H.M. (1986), "Mathematical aspects of the relative gain array (A◦A^−T)", SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods, 7 (4): 627–644, doi:10.1137/0607069

[4] van de Wal, M.; de Jager, B. (2001), "A review of methods for input/output selection", Automatica, 37 (4): 487–510, doi:10.1016/S0005-1098(00)00181-3

[5] Uhlmann, Jeffrey (2019), "On the Relative Gain Array (RGA) with Singular and Rectangular Matrices", Applied Mathematics Letters, 93: 52–57, arXiv:1805.10312, Bibcode:2018arXiv180510312U, doi:10.1016/j.aml.2019.01.031, S2CID 44092817

[6] Qasim Al Yousuf, Rafal; Uhlmann, Jeffrey (2021), "On Use of the Moore-Penrose Pseudoinverse for Evaluating the RGA of Non-Square Systems", Iraqi Journal of Computers, Communications, Control & Systems Engineering, 3 (21): 89–97, arXiv:2106.09766, doi:10.33103/uot.ijccce.21.3.8, S2CID 235485155

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