레귤러스 (지오메트리)

한 시트의 하이퍼볼로이드에 규칙을 표시하는 레귤러 부분과 그 반대편의 문자열 모델

3차원 공간에서 레귤러 R은 꼬치 선들의 집합으로, 모든 점은 R의 원소를 단 한 번만 교차하는 횡단면에 있고, 횡단면의 모든 점은 R의 선에 놓여 있다.

R의 횡단 세트는 반대 레귤러 S를 형성한다. ℝ에서³ 조합 R ∪ S는 한 장의 하이퍼볼로이드 표면이다.

세 개의 스큐 라인이 규정값을 결정한다.

주어진 세 개의 꼬치선을 만나는 선들의 위치를 레귤러라고 한다. 갈루치의 정리를 보면 레귤러(원래 세 개의 선 포함)의 생성자를 만나는 선들이 또 다른 "관련된" 레귤러(regulus)를 형성하여 어느 한쪽 레귤러(regulus)의 모든 생성자가 다른 한 발전기의 모든 생성자를 만난다. 그 두 가지 규율은 지배적인 사방형 발전기의 두 가지 계통이다.^[1]

샬롯 스콧에 따르면 "규정은 원뿔의 성질에 대한 아주 간단한 증거를 제공한다...샤슬레스, 브리안콘, 파스칼의 정리..."^[2]

유한 형상 PG(3, q)에서 레귤러스는 q + 1 선을 가진다.^[3] 예를 들어 1954년 윌리엄 엣지는 PG(3,3)에서 각각 4줄의 레귤리 한 쌍을 설명했다.^[4]

로버트 J. T. 벨은 움직이는 직선에 의해 레귤러스가 어떻게 생성되는지를 설명했다. 먼저 하이퍼볼로이드 $x{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ a ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ y ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{b\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$- ${\displaystyle z\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \text{c}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}\frac{{}^{}}{}}$= 1 ${\displaystyle {\x^{$2}}:{$a^{2}}:}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}}}}-{\c^{2$}}:}-{c^{2$}}:{$c^{$2}}:}\}\}}$는 다음과 같이 인수된다$$.

${\displaystyle \left({\frac{x}{a}+{\frac {z}{c}\오른쪽)\\{x}}{a}-{\frac {z}{c}\오른쪽)\\\\\\좌측(1+{\frac {b}}}}}}{b\우측)\1-{frac {b\우측.}$

그런 다음 λ과 μ에 의해 파라메트리된 두 개의 라인 시스템이 이 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)}$ and

${\displaystyle {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

첫 번째 라인의 멤버는 두 번째 라인의 멤버가 아니다. μ 또는 μ가 변화함에 따라 하이퍼볼로이드가 생성된다. 그 두 세트는 규율과 그 반대쪽을 나타낸다. Bell은 분석 지오메트리를 사용하여 집합의 두 발전기가 교차하지 않으며, 반대편 레귤레이션의 두 발전기가 교차하여 그 지점에서 하이퍼볼로이드에 접하는 평면을 형성한다는 것을 증명한다. (155쪽).^[5]

참고 항목

• 번역면 § Reguli 및 정규 스프레드

참조

• H. G. 포더(1950) 기하학, 허친슨 대학 도서관 118쪽.