준연속함수

수학에서 준연속함수의 개념은 연속함수의 개념과 유사하지만 약하다.모든 연속 함수는 준연속이지만 그 역은 일반적으로 사실이 아니다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간으로 두십시오$$.Areal-valued 기능 f:X→ R{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb{R}}는 지점에서)quasi-continuous은 ∈ X{\displaystyle Xx\in}어떤ϵ>에 0{\displaystyle \epsilon>0}x의{\displaystyle)}이 열려 있는 동네 U{U\displaystyle}는 사각형 개집합 G⊂ U{\display.styl$e$ $G\subset$ U$}:$

$\displaystyle f(x)-f(y) <\epsilon \;\;\;\;\;\all y\in G}$

위의 정의에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$은(는) 필요하지 않다는 점에 유의하십시오$.$

특성.

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이(가) 연속인 $경우{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$f}은(는) 준연속인 것이다$$.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$이(가) 연속이고$$ ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$ g$:X\righrow \mathb${$R$$}}}$이(가) 준연속이면$$ f +${\displaystyle }g{\displaystyle }$ ${\displaysty$ f$+g}$이 준연속이다.

예

→ R}f())에 의해 정의되 \rightarrow \mathbb{R}{\displaystyle f:\mathbb{R})0{\displaystyle f())=0} 때마다) 때마다 x>0{\displaystyle x\leq 0}와 f())=1{\displaystyle f())=1}≤ 0{\displaystyle x>0}. 분명히 f어디에나 x=0을 제외하고는, 연속적이다를 함수 f:R를 생각해 보자.우리 quax=0을 제외한 모든 곳에서 si-time.x=0에서 x의 열린 동네 U를 택한다.Then there exists an open set ${\displaystyle G\subset U}$ such that ${\displaystyle y<0\;\forall y\in G}$. Clearly this yields ${\displaystyle f(0)-f(y) =0\;\forall y\in G}$ thus f is quasi-continuous.

In contrast, the function ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle g(x)=0}$ whenever ${\displaystyle x}$ is a rational number and ${\displaystyle g(x)=1}$ whenever ${\displaystyle x}$ is an irrational number is nowhere quasi-continuous, 모든 비빈 오픈 세트 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$에는 일부$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}: ${\displaystyle g}$ ( ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$- g${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaysty g(y_{1})-g(y_{2}) =1$

참조

• Ján Borsík (2007–2008). "Points of Continuity, Quasi-continuity, cliquishness, and Upper and Lower Quasi-continuity". Real Analysis Exchange. 33 (2): 339–350.
• T. Neubrunn (1988). "Quasi-continuity". Real Analysis Exchange. 14 (2): 259–308. JSTOR 44151947.