비례제어

플라이볼 주지사는 비례제어의 초기 사례다. 볼은 속도가 증가하면 상승하므로 밸브가 닫히고 균형이 잡힐 때까지 속도가 줄어든다.

비례제어는 공학과 공정 제어에서 원하는 값(설정점, SP)과 측정값(공정 변수, PV)의 차이에 비례하는 제어 변수에 보정을 적용하는 선형 피드백 제어 시스템의 일종이다. 대표적인 기계적인 예로는 화장실 변기 부유식 비례 밸브와 플라이볼 관리기가 있다.

비례제어 개념은 바이메탈 가정용 서모스탯과 같은 온-오프 제어 시스템보다 복잡하지만, 자동차 크루즈 컨트롤과 같은 것에 사용되는 비례-통합-파생(PID) 제어 시스템보다 간단하다. 온오프 제어는 전체 시스템의 응답 시간이 상대적으로 길지만 제어되는 시스템의 응답 시간이 빠른 경우 불안정성을 초래할 수 있다. 비례제어는 불안정성을 방지하는 수준의 제어밸브와 같이 제어장치에 대한 출력을 조절하여 이를 극복하지만, 비례제득의 최적량을 적용하여 가능한 한 신속하게 보정을 적용한다.

비례제어의 단점은 비례출력을 생성하기 위해 오차가 필요하기 때문에 보상이 있는 공정(예: 온도제어)에서 잔류 SP - PV 오류를 제거할 수 없다는 점이다. 이를 극복하기 위해 비례 용어(P)를 사용하여 총 오차를 제거하고, 시간 경과에 따른 오류를 통합하여 제어기 출력에 대한 "I" 구성요소를 생성함으로써 잔류 오프셋 오차를 제거하는 PI 컨트롤러가 고안되었다.

이론

비례제어 알고리즘에서 컨트롤러 출력은 설정점과 프로세스 변수의 차이인 오류 신호에 비례한다. 즉, 비례제어기의 출력은 오류신호의 곱셈과 비례 이득이다.

이것은 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

P_{\mathrm {out}}}}}=K_{p}\,{e(t)+p0}}

어디에

$p0$ $p0$ $p0$ : 오류가 없는 컨트롤러 출력.
$P_{\mathrm {out} }$ $P_{\mathrm {out} }$ $P_{\mathrm {out} }$ $P_{\mathrm {out} }$ ${\$ : 비례제어기 출력
$K_{p}$ $K_{p}$ ${\$ : 비례 이득
$e(t)$ ( $e(t)$ ) ${\displaystyle e($ $e(t)=SP-PV$ $)}$ : 시간 t. e $e(t)=SP-PV$ ( t $e(t)=SP-PV$ ) $e(t)=SP-PV$ = S $e(t)=SP-PV$ - $e(t)=SP-PV$ $e(t)=SP-PV$ ${\displaystyle e(t)=$ $SP-PV}$
$S$ P $SP$ : 설정점
$P$ V $PV$ : 공정 변수

제약 조건: 실제 공장에서 액추에이터는 P $P_{\mathrm {out} }$ $P_{\mathrm {out} }$ t ${\$ { $out}}}}}}$ 에 대한 제약으로 표현할 수 있는 물리적 한계가 있다 $P_{\mathrm {out} }$ 예를 들어 P $P_{\mathrm {out} }$ $P_{\mathrm {out} }$ t ${\$ 은(는) 최대 출력 한계일 경우 -1과 +1 사이에 경계될 수 있다 $P_{\mathrm {out} }$ .

자격: $K_{p}$ ${\$ 를 단위 없는 숫자로 표현하는 $K_{p}$ 것이 바람직하다. 이를 위해 $e(t)$ ( $e(t)$ ) $e(t)$ 을(를) 계측기 스팬에 대한 비율로 $e(t)$ 표현할 수 있다. 이 스팬은 오차(예: C도)와 같은 단위에 있으므로 비율에 단위가 없다.

제어블록도 개발

단순 피드백 제어 루프2

비례제어는 ${\mathit {g_{c}=k_{c}}}$ ${\mathit {g_{c}=k_{c}}}$ = ${\mathit {g_{c}=k_{c}}}$ ${\mathit {g_{c}=k_{c}}}$ ${\$ 을(를) 지시한다 ${\mathit {g_{c}=k_{c}}}$ 표시된 블록 다이어그램에서 r, 설정점이 탱크로의 흐름이고 e는 설정점과 측정된 공정 출력의 차이라고 가정한다. ${\mathit {g_{p}}},$ ${\mathit {g_{p}}},$ ${\displaystystylease$ {\{ $g_{$ g_}}}, {p $}}}}$ 은 프로세스 ${\mathit {g_{p}}},$ 전송이다. 기능; 블록으로의 입력은 유량이고 출력은 탱크 레벨이다.

설정점의 함수인 r은 폐쇄 루프 전송 함수로 알려져 있다. ${\mathit {g_{cl}}}={\frac {\mathit {g_{p}g_{c}}}{1+g_{p}g_{c}}},$ If the poles of ${\mathit {g_{cl}}},$ are stable, then the closed-loop system is stable.

1차공정

For a first-order process, a general transfer function is $g_{p}={\frac {k_{p}}{\tau _{p}s+1}}$ . Combining this with the closed-loop transfer function above returns ${\displaystyle g_{$ $CL}={\frac {\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}{1+{\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}}}}$ . Simplifying this equation results in ${\displaystyle g_{$ 이 시스템의 안정, τ CL>0{\displays 위해 CL}={\frac{k_{CL}}{\tau_{CL}s+1}}}이가 CL)kpkc1+kpkc{\displaystyle k_{CL}={\frac{k_{p}k_{c}}{1+k_{p}k_{c}}}}과τ CL)τ p1+kpkc{\displaystyle \tau_{CL}={\frac{\tau_{p}}{1+k_{p}k_{c}}}}..tyl $e \tau _{CL}0$ 그러므로 $\tau _{p}$ p ${\$ 는 양수여야 하며 $\tau _{p}$ $k_{p}k_{c}>-1$ $k_{p}k_{c}>-1$ $k_{p}k_{c}>-1$ > $k_{p}k_{c}>-1$ - 1 ${\displaystyle k_{p}k_{c}-1}($ $k_{p}k_{c}>0$ 관행은 k $k_{p}k_{c}>0$ $k_{p}k_{c}>0$ > ${p}k_{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

시스템에 스텝 변경을 도입하면 $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ 응답 y ( $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ ) $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ = g $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ R $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ ${\$ y $(s)=g_{$ $CL}\time {\frac {\Delta$ R $}{s$

최종 가치 정리를 이용하여

$\lim _{t\to \infty }y(t)=\lim _{s\,\searrow \,0}\left(s\times {\frac {k_{CL}}{\tau _{CL}s+1}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=k_{CL}\times \Delta R=y(t) _{t=\infty }$

이는 시스템에 항상 오프셋이 있다는 것을 보여준다.

프로세스 통합

통합 프로세스의 경우 일반 전송 함수는 $g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}$ $g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}$ = $g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}$ + $g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}$ ) ${\$ }{s+1 $}}}}}}}}$ 이며 $g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}$ 이 함수는 폐쇄 루프 전송 함수와 $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ 하면 $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ g C L = $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ + $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ 1 $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ ) + $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ $g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}$ ${\$ 가 된다. $CL}={\frac {k_{c}{s+1)+k_{c$

시스템에 스텝 변경을 도입하면 $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ 응답 y ( $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ ) $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ = g $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ R $y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}$ ${\$ y $(s)=g_{$ $CL}\time {\frac {\Delta$ R $}{s$

최종 가치 정리를 이용하여

$\lim \to \inflit }y(t)=\lim _{s\s\,\searrow \,0}\time {\frac {k_{c}}{s+1)+k_{c}\time {\frac {\\\delta R}}\s}\오른쪽)\Delta R=y(t) _{t=\infully }}$

이 시스템에는 상쇄가 없다는 것을 의미한다. 이것은 비례 컨트롤러를 사용할 때 어떠한 오프셋도 갖지 않는 유일한 프로세스다.^[1]

오프셋 오류

흐름 제어 루프. 비례 제어기로만 사용된다면 SP와 PV 사이에는 항상 오프셋이 있다.

오프셋 오류는 원하는 값과 실제 값 사이의 차이인 $SP$ - $PV$ 오류다. 다양한 작동 조건에서 비례 제어만으로는 출력 조정을 생성하기 위해 오류가 필요하기 때문에 오프셋 오류를 제거할 수 없다.^[1] 예상 조건에 대한 오프셋 오차를 제거하기 위해 비례 제어기를 조정(가능한 경우 $p0$ 조정을 통해)할 수 있지만, 그 과정에서 교란(기존 상태로부터의 이탈 또는 설정 지점 조정)이 발생했을 때, 순수하게 비례 제어에 근거한 수정 제어 조치는 오프셋 오차를 초래한다.

스프링에 의해 정지된 물체를 단순한 비례 제어로 간주한다. 스프링은 일시적으로 물체를 대체할 수 있는 장애에도 불구하고 물체를 특정 위치에 유지하려고 시도할 것이다. 훅의 법칙에 따르면 봄은 물체의 변위에 비례하는 수정력을 적용한다고 한다. 이것은 물체를 특정 위치에 고정시키는 경향이 있지만, 물체의 질량이 변경되면 물체의 절대 휴식 위치는 달라질 것이다. 이 휴식 위치의 차이는 오프셋 오류다.

비례대역

비례 대역은 최종 제어 요소(예를 들어 제어 밸브)가 한 극단에서 다른 극단으로 이동하는 제어기 출력 대역이다. 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$PB={\frac {100}{K_{p}}\$

따라서 비례 이득인 $K_{p}$ ${\$ 이 매우 높으면 비례 대역은 매우 작으므로 최종 제어 요소가 최소에서 최대(또는 그 반대)로 가는 제어기 출력 대역은 매우 작다는 것을 의미한다. $K_{p}$ 는 K p {\ $K_{p}$ 스타일 $K_{p}$ 가 매우 $K_{p}$ 높기 때문에 작은 오류라도 컨트롤러 출력이 한 극단에서 다른 극단으로 구동되는 온오프 컨트롤러의 경우에 해당된다.

이점

온오프 제어에 비해 비례하는 확실한 장점은 차량 속도 제어를 통해 증명할 수 있다. 온오프 제어와 유사하게, 속도를 제어하기 위해 풀 파워 또는 무전원을 적용하고 듀티 사이클을 변화시킴으로써 자동차를 운전하는 것이다. 목표 속도에 도달할 때까지 전원이 켜져 있다가 전원이 차단되어 자동차가 속도를 줄인다. 특정 이력(hysteresis)으로 속도가 목표치 아래로 떨어지면 다시 풀 파워가 가해진다. 이는 분명히 제어 능력이 떨어지고 속도 변화가 큰 결과를 초래할 것이라고 볼 수 있다. 엔진이 강력할수록 불안정성이 커지고, 차가 무거울수록 안정성도 커진다. 안정성은 차량의 중량 대 출력 비율과 상관관계가 있는 것으로 표현될 수 있다.

비례 제어에서 출력은 항상 (실제 대 목표 속도) 오류에 비례한다. 차량이 목표속도에 있고 경사도가 떨어져 속도가 약간 증가하면 동력이 약간, 또는 오차변화에 비례하여 약간 감소하여 서서히 속도를 줄이고 새로운 목표지점에 도달하는 '오버슈트(overshoot)'가 거의 없어 온오프 제어보다 훨씬 매끄러운 '오버슈팅(overshoot)'이 된다. 실제로 PID 컨트롤러는 이것과 많은 수의 다른 제어 프로세스를 위해 사용되며, 비례적으로만 사용하는 것보다 더 많은 응답 제어를 필요로 한다.

참조

^ ^a ^b Bequette, B. Wayne (2003). Process Control: Modeling, Design, and Simulation. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall PTR. pp. 165–168. ISBN 978-0-13-353640-9.

외부 링크

온오프 또는 뱅뱅 제어와 비교한 비례 제어

[:0-1] Bequette, B. Wayne (2003). Process Control: Modeling, Design, and Simulation. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall PTR. pp. 165–168. ISBN 978-0-13-353640-9.

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