폴리토머스 래쉬 모델

다원형 라쉬 모델은 이분법 라쉬 모델을 일반화한 것이다.항목에 대한 반응이 연속 정수로 채점되는 과정을 통해 특성이나 능력을 측정하는 것이 목표인 어떤 맥락에서든 잠재적인 적용이 가능한 측정 모델이다.예를 들어, 모델은 리커트 척도, 등급 척도, 그리고 연속적으로 더 높은 정수 점수가 증가하는 능력이나 성취 수준을 나타내기 위한 교육 평가 항목에 적용할 수 있다.

배경 및 개요

다원성 라쉬 모델은 안드리히(1978년)에 의해 파생되었고, 라쉬(1961년)와 안데르센(1977년)에 의해 파생되었으며, 라쉬 모델의 일반적 형태의 관련 용어들을 문턱값과 차별적 매개변수로 분해하여 도출되었다.모델이 파생되었을 때, 앤드리히는 심령측정학에서 리커트 척도의 사용에 초점을 맞췄는데, 두 가지 모두 예시를 위한 목적과 모델 해석에 도움을 주기 위한 목적이었다.

이 모델은 (i) 항목의 임계값 수가 같고 (ii) 항목에서 지정된 임계값 위치와 임계값 위치의 평균 간의 차이가 동일하거나 동일한 경우 등급 척도 모델이라고도 한다.그러나 이는 소위 등급 척도보다 적용에 있어서 훨씬 일반적이기 때문에 잠재적으로 오해의 소지가 있는 명칭이다.이 모델은 특히 교육적 맥락에서 적용될 때 부분 학점 모델이라고도 한다.부분신용모형(Masters, 1982년)은 동일한 대수적 형태를 가지지만 나중에 다른 출발점에서 파생되었으며, 다소 다른 방식으로 해석된다.부분신용모형도 항목별로 다른 임계값을 허용한다.모델에 대한 이 명칭이 자주 사용되지만, 앤드리히(2005)는 모델과 양립할 수 있는 대응 프로세스의 유형과 특히 관련된 마스터스 접근법의 요소와 관련된 문제와 문턱 위치의 추정치가 무질서한 경험적 상황에 대한 상세한 분석을 제공한다.이 문제들은 다음에 나오는 모델의 상세화에서 논의된다.

모델은 Rasch 모델을 정의하는 독특한 특성을 보존하는 방식으로 순차 정수 점수의 사용에 대한 이론적 기초를 제공하는 일반적인 확률론적 측정 모델이다. 특히, 총 원시 점수는 모델의 매개변수에 대한 충분한 통계량이다.이 속성에 대한 자세한 내용은 Rasch 모델의 주요 기사를 참조하십시오.이 모델은 이 특성을 보존하는 것 외에도 반응 범주가 잠재 속성 또는 특성의 증가하는 수준을 나타낸다는 가설에 대한 엄격한 경험적 테스트를 허용하며, 따라서 순서가 정해진다.모형이 이 가설을 검정하는 근거를 제공하는 이유는 문턱값이 의도된 순서를 표시하지 못할 가능성이 경험적으로 있기 때문이다.

이분법적 데이터에 대한 Rasch 모델의 보다 일반적인 형태에서, 특정 항목의 점수는 개인이 능가하는 잠재적 특성에 대한 임계값 위치의 개수로 정의된다.이는 측정 프로세스가 그러한 계수를 문자 그대로 포함한다는 것을 의미하는 것이 아니라, 잠재 연속체의 임계 위치는 일반적으로 조건부 최대우도 추정과 같은 추정 프로세스를 통해 반응 데이터 행렬에서 유추된다.일반적으로 측정 과정의 주요 특징은 개인을 연속적인 또는 인접한 순서의 범주 중 하나로 분류한다는 것이다.주어진 실험 맥락에서 사용되는 반응 형식은 여러 가지 방법으로 이를 달성할 수 있다.예를 들어, 응답자들은 진술에 대한 자신의 지지 수준을 가장 잘 포착한다고 생각하는 범주를 선택할 수 있고(예: '강력하게 동의한다'), 판사는 사람을 잘 정의된 기준에 따라 범주로 분류하거나, 사람은 일련의 기준 자극에 대한 인식된 유사성에 기초하여 신체적 자극을 분류할 수 있다.

다항성 Rasch 모형은 반응이 두 범주로만 분류될 때 이분법적 데이터를 위한 모형에 특화된다.이 특별한 경우, 항목 난이도 및 (단일) 문턱이 동일하다.문턱의 개념은 다음 절에 자세히 설명되어 있다.

폴리토머스 래쉬 모델

일단.

X_{ni}=x\in \{0,1,\dots,m_{i}\,

$m_{i}$ $m_{i}$ ${\$ 은(는) 항목 i의 $m_{i}$ 최대 점수인 정수 랜덤 변수다.즉, 변수 $X_{ni}$ $X_{ni}$ ${\$ 는 $m_{i}$ 에서 최대 $m_{i}$ i ${\$ 사이의 정수 값을 취할 수 있는 랜덤 변수다 $X_{{ni}}$ $m_{i}$

다항성 Rasch 모델(Andrich, 1978년)에서 결과 $X_{ni}=x$ $X_{ni}=x$ $X_{ni}=x$ = x $X_{ni}=x$ 의 $X_{{ni}}=x$ 확률은

\Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}};

\Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}{i}}\exp_{k=1}^{j}(\beta _{n}-{\tau_{ki})}}}

여기서 $\tau _{ki}$ $\tau _{ki}$ ${\$ 는 $\tau _{{ki}}$ 잠재 연속체에서 항목 i의 k번째 임계값 위치, $\beta _{n}$ ${\$ 는 $\beta _{n}$ 동일한 연속체에서 사람 n의 위치, $m_{i}$ $m_{i}$ ${\$ 는 항목 i의 최대 점수다 $m_{i}$ .이 방정식은 와 같다.

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}

여기서 $\tau _{0i}$ $\tau _{0i}$ $\tau _{0i}$ ${\$ 의 값은 계산 편의상 다음과 같은 $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ 을 선택한다 $\tau _{0i}$ : $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ = 0 $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ ( $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ n - $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ ) $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ 0 ${\displaysty \sum _{k=0}^{m_{i}}(\cu_{n}-\tau_{ki}-\equiv 0$

등급 척도 모델

마찬가지로 래쉬 "등급 척도" 모델(앤드리치, 1978년)은

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\sum_{k=0}^{x}(\beta_{n}-({\delta_{i}-\tau_{k}))}}}{{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\reason _{n}-{n}-{i}-\tau _{k}))}}}

여기서 $\delta _{i}$ $\delta _{i}$ ${\$ i}는 항목 i의 난이도이며 $\delta _{i}$ , $\tau _{k}$ k $\tau _{k}$ {\ $displaystyle \tau_{k}$ 는 $\tau _{{k}}$ 모든 항목에 공통인 등급 척도의 k번째 임계값 위치. m은 최대 점수이며 모든 항목에 대해 동일하다. $\tau _{0}$ ${\$ 은(는) 계산상의 편의를 위해 선택한다 $\tau _{0}$ .

적용

주어진 경험적 맥락에서 적용되는 모델은 주어진 결과의 확률은 이러한 사람과 항목 매개변수의 확률적 함수라는 수학적 가설을 고려할 수 있다.특정 범주의 확률과 개인 위치의 함수 사이의 관계를 보여주는 그래프를 범주 확률 곡선(CPC)이라고 한다.0에서 4까지 점수가 매겨진 5개 범주의 항목에 대한 CPC의 예는 그림 1에 나와 있다.

그림 1: 순서 범주가 5개인 품목에 대한 래쉬 범주 확률 곡선

지정된 임계값 $\tau _{ki}$ $\tau _{ki}$ ${\$ 은 연속체를 $\tau _{ki}$ 위치 위와 아래의 영역으로 분할한다.문턱값은 잠재 연속체에서 사람이 인접한 범주로 분류될 가능성이 같으며, 따라서 2개의 연속 점수 중 하나를 획득할 수 있는 위치와 일치한다.항목 i의 첫 번째 임계값인 $\tau _{1i}$ $\tau _{1i}$ i ${\$ 는 $\tau _{1i}$ 0이나 1의 점수를 받을 가능성이 동일한 연속체 상의 위치, 두 번째 임계값은 1과 2의 점수를 받을 가능성이 동일한 위치 등이다.그림 1의 예에서 임계 위치는 각각 -1.5, -0.5, 0.5, 1.5이다.

응답자는 다양한 방법으로 점수를 얻을 수 있다.예를 들어, 리커트 응답 형식을 사용하는 경우 "강력한 반대", "반대 a 1, 동의 a 2, 그리고 "강력한 동의"가 할당될 수 있다.교육 심리학에서의 평가의 맥락에서, 읽기 이해와 같은 특정 영역에서 증가하는 성취의 수준을 특징짓는 명시적 기준이나 설명에 따라 연속적으로 더 높은 정수 점수를 부여할 수 있다.공통적이고 중심적인 특징은 어떤 과정이 각 개인을 집합적으로 평가항목을 구성하는 일련의 순서 범주 중 하나로 분류하는 결과를 초래해야 한다는 것이다.

모델 정교화

안드리히(2005)는 모델의 특징을 상세히 설명하면서, 그 구조가 동시 분류 과정을 수반한다는 것을 명확히 하고, 이는 단일의 매니페스트 반응을 낳으며, 일련의 이분법적인 잠재 반응을 수반한다.또한, 잠재된 이분법적 반응은 다음과 같이 특징지어지는 Guttman 구조와 관련 반응 공간 내에서 작동한다.

내버려두다

Y_{nk}=y\in \{0,1\}k\in \{0,1\}k\in \{0,1,\dots,m\}\,

독립 이분법 랜덤 변수의 집합이다Andrich(1978, 2005)는 다면성 Rasch 모델이 이러한 이분법적 반응이 잠재된 Guttman 반응 하위 공간과 일치하도록 요구한다는 것을 보여준다.

\Oomega '\\\stackrel {\mathrm {def}}{=}\{1,\dots,1,0,\dots,0\}

여기서 x는 m-x 0이 뒤따른다.예를 들어, 두 임계값의 경우 이 반응 하위 공간의 허용 패턴은 다음과 같다.

0,0\왼쪽 화살표 0

1,0\왼쪽 화살표 1

1,1\왼쪽 화살표 2

여기서 각 패턴이 암시하는 정수 점수 x(및 그 반대)는 그림과 같다.이 하위공간이 모델에 의해 암시되는 이유는 다음과 같다.내버려두다

P_{nxi}={\frac({\beta_{n}-{\tau_{ki}}){1+\exp({\beta_{n}-{n}-{n}-{tau_{ki}}}}}}}}}}})}}},\=k=x,

$Y_{nki}=1$ $Y_{nki}=1$ $Y_{nki}=1$ = 1 $Y_{nki}=1$ 의 $Y_{{nki}}=1$ 확률로 $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ = $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ - $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ ${\$ 이 함수는 이분법적 데이터에 대한 Rasch 모델의 구조를 가지고 있다.다음으로, 두 임계값의 경우 다음과 같은 조건부 확률을 고려한다.

{\frac {P_{n1}Q_{n1}Q_{n1}Q_{n1}Q_{n1}Q_{n1}Q_{n1}Q_{n1}P_{n1}P_{n1}2}}.

이 조건부 확률은 다음과 같음을 알 수 있다.

{\displaystyle {\frac {{\sum _{k=1}^{1}(\cHB_{n}-{\tau_{k})}{1+\sum _{j=1}^{j}\sum _{k=1}^{n}}}}}}}}}}}}}}}}{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})

즉, 다항성 Rasch 모델에 의해 주어진 $Pr\{X_{ni}=1\}$ 확률 P $Pr\{X_{ni}=1\}$ { $Pr\{X_{ni}=1\}$ $Pr\{X_{ni}=1\}$ $Pr\{X_{ni}=1\}$ = $Pr\{X_{ni}=1\}$ $Pr\{X_{ni}=1\}$ $Pr\{X_{ni}=1\}}$ 이다.From the denominator of these equations, it can be seen that the probability in this example is conditional on response patterns of $\{0,0\},\{1,0\},$ or $\{1,1\}$ . It is therefore evident that in general, the response subspace $\Omega '$ , a앞에서 정의한 s는 다면성 Rasch 모델의 구조에 내재되어 있다.이 하위 공간에 대한 제한은 응답의 정수 점수를 정당화하기 위해 필요하다. 즉, 점수가 단순히 순서가 지정된 임계값의 카운트가 되도록 한다.Andrich(1978)는 이러한 정당성을 위해 각각의 문턱에서 동등한 차별이 필요하다는 것을 보여주었다.

다항성 Rasch 모델에서, 주어진 항목의 x 점수는 개인이 연속체에서 특정 영역 이하의 x 임계값을 동시에 초과했고, 그 영역 위의 나머지 m - x 임계값을 초과하지 못했음을 의미한다.이것이 가능하려면, 임계값이 그림 1의 예와 같이 자연적인 순서로 되어 있어야 한다.한계점 추정치는 연속적인 점수로 대표되는 분류가 잠재된 특성의 증가하는 수준을 반영하는 평가 컨텍스트를 구성하지 못했음을 나타낸다.예를 들어 두 개의 임계값이 있고 연속체에서 두 번째 임계값의 추정치가 첫 번째 임계값의 추정치보다 낮은 상황을 고려하십시오.말 그대로 위치를 잡으면 1등급으로 분류하면 2등급은 동시에 2등급은 넘지만 1등급은 넘지 못한다는 의미다.다시 말하면, 이는 위에서 설명한 바와 같이 모델의 구조에 내재된 패턴의 하위 공간에 속하지 않는 패턴인 반응 패턴 {0,1}을 의미한다.

따라서 임계값 추정치가 무질서한 경우, 추정치는 문자 그대로 취해질 수 없다. 오히려 무질서는 그 자체로 분류가 측정을 위한 기준으로 연속 정수 점수를 사용하는 것을 정당화하기 위해 논리적으로 충족되어야 하는 기준을 충족시키지 못한다는 것을 나타낸다.이 점을 강조하기 위해, 안드리히(2005)는 실패, 합격, 신용, 구별의 등급이 주어지는 예를 이용한다.이러한 등급 또는 분류는 일반적으로 증가하는 달성 수준을 나타내기 위한 것이다.잠재 연속체 상의 위치가 합격과 신용이 가장 많이 수여될 가능성이 높은 연속체 상의 지역 사이의 문턱에 있는 A를 생각해 보라.또한 신용과 구분이 가장 많이 수여될 가능성이 높은 지역 사이의 위치에 있는 다른 사람 B도 고려하십시오.Andrich가 고려한 예(2005년, 페이지 25)에서, 말 그대로의 경우, 무질서한 임계값은 개인 A의 위치(통과/신용 임계값)가 개인 B의 위치(신용/생존 임계값)보다 높다는 것을 의미한다.즉, 문자 그대로 불규칙한 임계값 위치는 신용/생존 임계값에 필요한 것보다 더 높은 수준의 달성도를 보여야 한다는 것을 의미한다.분명히, 이것은 그러한 등급제의 의도와는 다르다.따라서, 문턱의 무질서는 등급이 매겨지는 방식이 등급제의 의도와 일치하지 않음을 나타낼 것이다.즉, 장애는 등급 시스템에 내포된 가설(등급이 실적 증가의 순서 분류를 나타낸다는 것)이 경험적 자료의 구조에 의해 입증되지 않는다는 것을 나타낼 수 있다.

참조

안데르센, E.B. (1977년)충분한 통계와 잠재 특성 모델, 사이코메트리카 42, 69–81.
앤드리히, D. (1978년)순서형 반응 범주에 대한 등급 공식.사이코메트리카, 43세, 561–73세
안드리치, D.(2005년).라쉬 모델이 설명했다.시바쿠마르 알라구말라이, 다비드 D 두르티스, 은조라 헝기(에드스)에서.응용 라스치 측정: 예시책.스프링거-클루어제3장 308–328.
마스터스, G.N. (1982)부분 신용 점수를 위한 Rasch 모델.사이코메트리카 47, 149–174
래쉬, G. (1960/1980).일부 인텔리전스 및 달성 테스트에 대한 확률론적 모델.(덴마크 교육 연구소 코펜하겐), B.D.에 의한 서문과 후기를 포함한 확장판(1980년).장인시카고:시카고 대학 출판부.
폰 다비에, M. & 로스트, J. (1995)폴리토머스 혼성 래쉬 모델.G. H. Fischer & I. W. Molenaar (Eds.)에서: Rasch 모델 - 기초, 최근 개발 및 적용. (pp. 371-379)뉴욕: 스프링거.https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-4230-7_20
폰 다비에 M. (2014) 라쉬 폴리토머스 모델.인: Michalos A.C. (eds) 삶의 질과 웰빙 연구의 백과사전스프링거, 도드레흐트https://doi.org/10.1007/978-94-007-0753-5_2412
Wright, B.D. & Masters, G.N. (1982)등급 척도 분석.시카고: MESA 프레스 (객관적 측정 연구소로부터 이용 가능)

외부 링크

Search

폴리토머스 래쉬 모델

네임스페이스

더

목차

배경 및 개요

폴리토머스 래쉬 모델

등급 척도 모델

적용

모델 정교화

참조

외부 링크