연산자 이상

수학의 한 분야인 기능 분석에서 연산자 이상은 바나흐 공간 사이의 연속 선형 연산자의 특별한 종류다.If an operator ${\displaystyle T}$ belongs to an operator ideal ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$, then for any operators ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ which can be composed with ${\displaystyle T}$ as ${\displaystyle BTA}$, then ${\displaystyle BTA}$ is class ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{J}}$ ${\$도 마찬가지.또한 $J{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 운영자 이상적이 되려면$$ 모든 유한 등급 바나흐 우주 사업자의 클래스를 포함해야 한다.

형식 정의

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 임의의 Banach 공간 사이에서 작용하는 연속 선형 연산자의 클래스를 나타낸다$$.For any subclass ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ and any two Banach spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ over the same field ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$, denote by ${\display$$style {\mathcal {J}}(X,Y)}$ the set of continuous linear operators of the form ${\displaystyle T:X\to Y}$ such that ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}}$. In this case, we say that ${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$ is a component of ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. An operator ideal is a subclass ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, containing every identity operator acting on a 1-dimensional Banach space, such that for any two Banach spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ over the same field ${\displaystyle \mathbb {K} }$, t$J{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {J}(X,Y)}$에 대한 다음 두 가지 조건이 충족된다$$.

(1) $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle J}$( ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {J}($${\displaystyle X}$$,$${\displaystyle Y}$$)}$인 경우 ${\displaystyle S}$+ T${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle J\mathcal{}}$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle S+T\in {\mathcal$ {$J}(X,$ Y$)}$및 {\mathcal$}$

(2) if ${\displaystyle W}$ and ${\displaystyle Z}$ are Banach spaces over ${\displaystyle \mathbb {K} }$ with ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(W,X)}$ and ${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}$, and if ${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}(X,Y$$)\},$ $다음{\displaystyle }$ B ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$∈ ${\displaystyle J(W,}$ ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle BTA\in {\mathcal {J}(W,Z$

속성 및 예제

운영자 이상은 다음과 같은 좋은 특성을 즐긴다.

• 연산자 이상의 모든$$ 구성 $요소{\displaystyle \mathcal{}}$ J${\displaystyle (X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle${\$mathcal {J}(X,Y)}$은(는) $L{\displaystyle \mathcal{}(X}$,${\displaystyle Y}$ )$${\$displaystyle${\$mathcal {L}(X,Y)}$의 선형 하위 공간을 형성하지만$,$ 일반적으로 이 공간을 표준 닫을 필요는 없다.
• 모든 연산자의 이상에는 모든 유한 등급 연산자가 포함된다.특히 유한계급 연산자는 가장 작은 연산자 이상을 형성한다.
• 각 연산자 $이상{\displaystyle \mathcal{}}$ J ${\$에 대해 J$($${\displaystyle }X{\displaystyle \mathcal{}}$) ${\displaystyle :=}$ J${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X\mathcal{},}$ ${\displaystyle X}$ $){\displaystyle {\mathcal{J}(X$):$={\mathcal{J}(X,X)}$이(가) 대수적 의미로 이상형을 이룬다$$.

더욱이, 잘 알려진 몇몇 세분류는 노르말-폐쇄 연산자 이상, 즉 구성요소가 항상 노르말-폐쇄되는 연산자 이상이다.이것들은 다음을 포함하나 이에 국한되지 않는다.

• 소형 연산자
• 약한 소형 연산자
• 정밀하게 단수 연산자
• 엄격히 단수 연산자
• 완전 연속 연산자

참조

• 피에치, 알브레히트: 오퍼레이터 이상, 수학자 모노그래피엔 16권, 더트셔 베를라크 d.위스, VEB 1978년