Nullspace 속성

압축 감지에서 nullspace 속성은 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-relaxation$$ 기술을 사용하여 희소 신호 재구성에 필요한 충분한 조건을 제공한다."nullspace property"라는 용어는 코헨, 다멘, 드보어에서 유래되었다.^[1]nullspace 속성은 실제로 확인하기 어려운 경우가 많으며, 제한된 등거리 속성은 압축 감지 분야에서 보다 현대적인 조건이다.

$\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-relaxation의$$ 기법

비컨벡스 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -minimization$$ 문제,

${\displaystyle \underset{}{min}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$x ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ x\$_{0}$의 적용을$$ 받는 $\backslash$${\displaystyle x}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaysty Ax=b},$

압축 감지의 표준 문제.단, ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\$ -minimization은$$ 일반적으로 NP-hard인 것으로 알려져 있다.^[2]이와 같이 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-relaxation의$$ 기법을 채용하여 ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ -norm을$$ 이용하여 신호 재구성의 어려움을 우회하는 경우도 있다.$\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-relaxation에서$$ $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$문제$$,

${\displaystyle \underset{}{min}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}{}_{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle \min \limits _{x}\ x\ _{1$}의 적용을$$ ${\displaystyle \mathrm{받는다}}.$ ${\displaystyle A}$x = b$${\$displaysty Ax=b},$

$\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 문제$$ 대신에 해결된다.이러한 이완은 볼록하고 따라서 계산적으로 바람직한 특징인 선형 프로그래밍의 표준 기법에 부합할 수 있다는 점에 유의한다.당연히 우리는 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-relaxation이$$ $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 문제와$$ 같은 답을 언제 줄지 알고 싶다.Nullspace 재산은 합의를 보장하는 한 가지 방법이다.

정의

만약 모든 인덱스의 Ss과{S\displaystyle})S≤ n{s= S\leq n\displaystyle}배웅 복잡한 매트릭스{\displaystyle m\times의 스녀}{A\displaystyle}주문 s{s\displaystyle}의 nullspace 속성을 가지고 있는 m×n, 우리가:<>‖ η SC‖ 1{\displaystyle)\eta 그 ‖ Sη ‖ 1 가지고 있다. _{S$}\ _{1$} ${\displaystyle \backslash }$$eta _{S^{C}\{1$}{1}}{1}} $}}$ $A$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle 0}$} ${\$ {A$}\setminus \{0\right$

복구 조건

다음 정리는 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 주어진 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ -sparse$$ 벡터의 복구능력에 필요한 충분한 조건을 제공한다$.$정리의 증빙은 표준적인 것이며, 여기에 제공된 증빙은 홀거 라우후트(Holger Rauhut)에서 요약한 것이다.^[3]

${\$$}}}$ ${\displaystyle A}$을(를) m ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle m\times n}$ 복합$$ 행렬로$$ 한다.Then every ${\displaystyle s}$-sparse signal ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ is the unique solution to the ${\displaystyle \ell _{1}}$-relaxation problem with ${\displaystyle b=Ax}$ if and only if ${\displaystyle A}$ satisfies the nullspace property with order ${\displa$$ystyle s}$.

${\$$}}}$ For the forwards direction notice that ${\displaystyle \eta _{S}}$ and ${\displaystyle -\eta _{S^{C}}}$ are distinct vectors with ${\displaystyle A(-\eta _{S^{C}})=A(\eta _{S})}$ by the linearity of ${\displaystyle A}$, and hence by uniqueness we must have 11 1 1 ${\$는 원하는 대로.For the backwards direction, let ${\displaystyle x}$ be ${\displaystyle s}$-sparse and ${\displaystyle z}$ another (not necessary ${\displaystyle s}$-sparse) vector such that ${\displaystyle z\neq x}$ and ${\displaystyle Az=Ax}$. Define the (non-zero) vector ${\displaystyle$$\eta =x-z}$ and notice that it lies in the nullspace of ${\displaystyle A}$. Call ${\displaystyle S}$ the support of ${\displaystyle x}$, and then the result follows from an elementary application of the triangle inequality: $displaystyle \$$S}\ _{1}=\ \eta _{S}\ _{1}+\ z_{{}}$$S}\ _{1}<\eta _{S^{C}\ _{1}+\ z_{{}}$$S}\ _{1}=\ -z_{S^{C}\ _{1}+\ z_{{{}}$$S}\ _{1}=\ z\ _{1},$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 최소성 설정$$$◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \square }$

참조