밀러 반복 알고리즘

밀러의 반복 알고리즘은 J. C. P.^[1] 밀러가 개발한 선형 반복 관계의 급속 감소 해법을 계산하는 절차이다.원래 수정된 베셀^[2] 함수의 표를 계산하기 위해 개발되었지만, 첫 번째 종류의 베셀 함수에도 적용되며, ^[3]다른 특수 함수의 체비셰프 확장 계수 계산과 같은 다른 응용 프로그램이 있다.

많은 특수 함수 패밀리는 공통 $인수$ x {\ $displaystyle$ x $x$ 와 다른 차수의 함수 값을 관련짓는 반복 관계를 충족합니다.

$I_{n}(x)$ I $I_{n}(x)$ ( $I_{n}(x)$ ) { $displaystyle$ I_ ${n}(x)}$ 의 $I_n(x)$ 수정된 베셀 함수는 반복 관계를 충족합니다.

I_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}I_{n}(x)+I_{n+1}(x)

I_{n}(x)+

I_{n+1}(x

그러나 두 번째 $K_{n}(x)$ 의 $K_{n}(x)$ ( $K_{n}(x)$ x $K_{n}(x)$ ) { $displaystyle K_{n}(x)}$ 의 $K_n(x)$ 수정된 베셀 함수도 동일한 반복 관계를 만족한다.

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

n -

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

(

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

x )

=

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

x

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

(

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

) +

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

n +

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

(

K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)

){

style K_{n-1}(x

)=

snfrac {2n}{x}K_{n}(x)+K_{n+1}(x

첫 번째 솔루션은 n $\style$ n으로 $급격히$ 감소합니다.두 번째 솔루션은 n $\style$ n $\style$ n에 $n$ 따라 $빠르게$ 증가합니다. Miller의 알고리즘은 감소하는 솔루션을 얻기 위한 수치적으로 안정적인 절차를 제공합니다.

Miller 알고리즘에 따라 $({$ 에서 $a_{0}$ N $({$ 까지의 $a_{N}$ 반복 $a_{0}$ 을 계산하려면 먼저 N $({displaystyle$ N})보다 $N$ 훨씬 큰 $값$ M({ $displaystyle$ M $})$ 을 $M$ 선택하고 M $({$ })을 $a_{M}$ $a_{M}$ 하여 초기 $a_{M}$ 을 계산한다.0이 아닌 임의의 값(예: 1)과 $a_{M+1}$ + $a_{M+1}$ ({ $displaystyle a_{M+$ 1 $a_{M+1}$ }) 이후 용어를 0으로 $a_{M+1}$ .그런 다음 반복 관계를 사용하여 M $a_{M-1}$ - $a_{M-1}$ ({ $displaystyle a_{M-1$ M $a_{M-2}$ - $a_{M-2}$ ({ $displaystyle a_{M-2})$ 에 $a_{M-2}$ $a_{M-1}$ 시행 값을 0 $({$ 까지 순차적으로 계산한다. 시험 시퀀스에서 얻은 두 번째 시퀀스에 대해 정규화 계수를 곱하여 얻은 두 번째 시퀀스는 여전히 t를 만족한다.동일한 반복 관계를 가진 다음 별도의 정규화 관계를 적용하여 실제 해를 산출하는 정규화 인자를 결정할 수 있습니다.

수정된 베셀 함수의 예에서 적절한 정규화 관계는 반복의 짝수 항을 포함하는 합이다.

I_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty}(-1)^{m}I_{2m}(x)=1

여기서 M $a_{M+1}$ + $({$ $a_{M+1}$ 의 $a_{M+1}$ 항이 0이라는 $a_{M+1}$ 로 인해 무한합계가 유한해진다.

마지막으로 첫 번째 선택지보다 두 번째 선택지 M $({displaystyle$ M $})$ 에서 $M$ 절차를 반복하고 0({ $displaystyle a_{0})$ 에서 첫 $a_{0}$ 번째 선택지 N $({$ })에 $a_{N}$ 대한 두 번째 결과 세트가 일치함을 확인함으로써 절차의 근사 오차가 허용됨을 확인할 수 있다.t는 원하는 공차 범위 내에서 설정됩니다.이 합치를 얻으려면 M $({$ 이라는 $a_{M}$ 용어가 원하는 공차보다 작을 정도로 M $({$ displaystylea_{M})의 $M$ $M$ 이 커야 합니다.

Miller 알고리즘과 달리 다른 방법으로 얻은 $I_{0}(x)$ 0 $(x)$ $I_{1}(x)$ I $)$ 의 $I_{1}(x)$ $I_{0}(x)$ 값에서 시작하여 순방향으로 반복 관계를 적용하려고 하면 반올림 $오류$ 가 빠르게 증가하는 ^[4]솔루션의 $구성요소$ 를 도입하기 때문에 실패합니다.

Olver와^[2] Gautschi는^[5] 알고리즘의 오차 전파를 상세하게 분석합니다.

첫 번째 종류의 베셀 함수의 경우 등가 반복 관계와 정규화 관계는 다음과 같습니다.^[6]

J_{n-1}(x)=black {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

0

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

(

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

) +

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

m

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

J

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

m (

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

)

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

{ {

displaystyle

J _ {

0 （

x ) + 2 \

sum _

{ m

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

= 1 }^{\

infty } J

_ { 2

m

（ x )

=

1

J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1

이 알고리즘은 N $N+1$ + $1의 개별$ $N+1$ 에 대한 직접 독립 계산과 비교하여x의 각 값(\ $displaystyle$ $x)$ 에 $0\cdots N$ $x$ 대해 모든 $0\cdots N$ $0\cdots N$ $⋯$ N의 $0\cdots N$ Bessel 함수 값이 필요한 애플리케이션에서 특히 효율적입니다.

레퍼런스

^ Bickley, W.G.; Comrie, L.J.; Sadler, D.H.; Miller, J.C.P.; Thompson, A.J. (1952). British Association for the advancement of science, Mathematical Tables, vol. X, Bessel functions, part II, Functions of positive integer order. Cambridge University Press. ISBN 978-0521043212., Olver에서 인용(1964년)
^ ^a ^b Olver, F.W.J. (1964). "Error Analysis of Miller's Recurrence Algorithm". Math. Comp. 18 (85): 65–74. doi:10.2307/2003406. JSTOR 2003406.
^ Németh, G. (1965). "Chebyshev Expansions for Fresnel Integrals". Numer. Math. 7 (4): 310–312. doi:10.1007/BF01436524.
^ Hart, J.F. (1978). Computer Approximations (reprint ed.). Malabar, Florida: Robert E. Krieger. pp. 25–26. ISBN 978-0-88275-642-4.
^ Gautschi, Walter (1967). "Computational aspects of three-term recurrence relations" (PDF). SIAM Review. 9: 24–82. doi:10.1137/1009002.
^ Arfken, George (1985). Mathematical Methods for Physicists (3rd ed.). Academic Press. p. 576. ISBN 978-0-12-059820-5.

[Miller-1] Bickley, W.G.; Comrie, L.J.; Sadler, D.H.; Miller, J.C.P.; Thompson, A.J. (1952). British Association for the advancement of science, Mathematical Tables, vol. X, Bessel functions, part II, Functions of positive integer order. Cambridge University Press. ISBN 978-0521043212., Olver에서 인용(1964년)

[Olver-2] Olver, F.W.J. (1964). "Error Analysis of Miller's Recurrence Algorithm". Math. Comp. 18 (85): 65–74. doi:10.2307/2003406. JSTOR 2003406.

[Nemeth-3] Németh, G. (1965). "Chebyshev Expansions for Fresnel Integrals". Numer. Math. 7 (4): 310–312. doi:10.1007/BF01436524.

[Hart-4] Hart, J.F. (1978). Computer Approximations (reprint ed.). Malabar, Florida: Robert E. Krieger. pp. 25–26. ISBN 978-0-88275-642-4.

[Gautschi-5] Gautschi, Walter (1967). "Computational aspects of three-term recurrence relations" (PDF). SIAM Review. 9: 24–82. doi:10.1137/1009002.

[Arkfen-6] Arfken, George (1985). Mathematical Methods for Physicists (3rd ed.). Academic Press. p. 576. ISBN 978-0-12-059820-5.

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