마르코프의 원리

튜링 머신의 예술적 표현.마르코프의 원칙은 튜링 기계가 정지하지 않는 것이 불가능하면 반드시 정지해야 한다는 것이다.

안드레이 마르코프 주니어의 이름을 딴 마르코프의 원리는 아래에서 논의한 바와 같이 등가 제형이 많은 조건부 존재론이다.

그 원리는 논리적으로 타당하지만 직관적인 건설적 수학에서는 타당하지 않다.그러나 그럼에도 불구하고 그것의 많은 특정 사례는 건설적인 맥락에서도 증명할 수 있다.

역사

이 원리는 우선 러시아 구성주의 학교에서 선택 원칙과 함께 수학 함수의 개념에 대한 실현성 관점을 가지고 연구되고 채택되었다.

계산가능성 이론에서

계산가능성 이론의 언어에서 마르코프의 원리는 알고리즘이 종료되지 않는 것이 불가능할 경우, 어떤 입력에 대해서는 종료된다는 주장을 형식적으로 표현한 것이다.이는 집합과 그 보완물이 모두 계산적으로 열거될 수 있다면 집합은 해독할 수 있다는 주장과 동일하다.

직감적 논리학에서.

술어 논리학에서는 도메인의 모든 x에 대해 P(x)가 참이거나 P(x)가 참이 아니면 일부 도메인에 대한 P 술어를 decificable이라고 한다.이것은 건설적으로 사소한 사실이 아니다.

자연수에 대한 해독 가능한 술어 P의 경우 마르코프의 원칙은 다음과 같이 읽는다.

#\displaystyle(\forall n(n)\vee \neg P(n)\wedge \neg \forall n\,\neg P(n)\오른쪽 화살표 \exists n\,P(n)}

즉, P가 모든 자연수 n에 대해 거짓일 수 없다면, 일부 n에 대해서는 사실이다.

마르코프의 법칙

마르코프의 규칙은 마르코프의 원칙을 규칙으로 정립한 것이다. $P$ ${\displaystyle P($ $\exists n\;P(n)$ )에 대해서는 $\neg \neg \exists n\;P(n)$ $\neg \neg \exists n\;P(n)$ $\neg \neg \exists n\;P(n)$ $\exists n\;P(n)$ P $\neg \neg \exists n\;P(n)$ ) ${\$ $displaystyle \exists$ n( $n)$ $\exists n\;P(n)$ {\displaysty \nexists n $\;P(n)}$ 이(가)이면 $\neg \neg \exists n\;P(n)$ $P$ 바로 파생될 수 있다고 $\exists n\;P(n)$ 명시되어 있다.형식적으로.

\displaystyle \forall n(P(n)\lor \neg P(n)), \neg \exists n\;P(n)\vdash \exists n\;P(n)}

앤 트로엘스트라는^[1] 헤잉 산술에서 그것이 인정받을 수 있는 규칙이라는 것을 증명했다.후에 논리학자 하비 프리드먼은 프리드먼 번역을 이용하여 마르코프의 통치는 모든 직관논리학, 헤이팅 산수학, 그리고 다양한 다른 직관론에서 인정받는 법칙임을 보여주었다.^[2]

인 헤이팅 산술

마르코프의 원리는 산술어로 다음과 같다.

\neg \n\;f(n)=0\rightarrow \\;f(n)=0,

$f$ $f$ 의 경우 자연수에 대한 총 $f$ 재귀 함수를 의미한다.

실현 가능성

만약 건설적인 산수가 실현가능성을 이용하여 관련 고전 이론의 $\omega$ $\omega$ -정합성을 $\omega$ 증명하는 고전적인 메타 이론으로 번역된다면(예를 들어, 헤잉 산수를 공부하고 있다면 Peano Mathics) 마르코프의 원리는 정당화된다:실제란 실재자를 취하는 상수함수다. $P(0),P(1),P(2),\dots$ ( $P(0),P(1),P(2),\dots$ ) $P(0),P(1),P(2),\dots$ , P $P(0),P(1),P(2),\dots$ ( $P(0),P(1),P(2),\dots$ ) $P(0),P(1),P(2),\dots$ , P $P(0),P(1),P(2),\dots$ ( $P(0),P(1),P(2),\dots$ ) $P(0),P(1),P(2),\dots$ , $P(0),P(1),P(2),\dots$ ${\displaystyle P (0), P(1),$ P $(2),\dots }$ 이(가) 사실인지 $P(0),P(1),P(2),\dots$ 연속적으로 확인하는 무한 검색에 $P$ ${\displaystyle$ P ( $0),$ P(2),\dots }이(가) 모든 곳에 거짓이 아니라는 $P$ 견해가 있다. $P$ $P$ 이 $P$ (가) 모든 거짓이 아닌 경우 $\omega$ $\omega$ -일관성까지 $\omega$ $P$ $P$ 이 $P$ (가) 가지고 있는 용어가 있어야 하며, 각 용어는 결국 검색에 의해 확인될 것이다.그러나 $P$ $P$ 이(가) 어느 곳에도 고정되지 않는 $P$ 경우 상수 함수의 도메인은 비어 있어야 하므로 검색이 중단되지 않더라도 함수가 실현자임을 빈 상태로 유지된다.배제된 중간의 법칙에 의해(우리 고전적 메타테오리에서) $P$ $P$ 은(는) 아무 곳에도 고정되지 않아야 하며 $P$ , 따라서 이 상수 기능은 실현자(Realizer)이다.

대신에 실현가능성 해석을 건설적인 메타이론에 사용한다면, 그것은 정당화되지 않는다.실제로 1차 산술의 경우 마르코프의 원리는 건설적인 메타이론과 고전적인 메타이론의 차이를 정확히 포착한다.구체적으로, 진술은 헤잉 산술에 그것을 실현하는 숫자가 있는 경우에 한해 확장 교회의 논문으로 증명할 수 있으며, 페아노 산술에서 그것을 실현하는 숫자가 있는 경우에 한해 확장 교회의 논제와 마르코프의 원리로 하이팅 산술에서 증명할 수 있다.

건설적 분석에서

마르코프의 원리는 실제 분석의 언어로 다음과 같은 원리와 동등하다.

각 실수 x에 대해, x가 0과 같다는 것이 모순된다면, 0 < y < x , 종종 x가 0과 떨어져 있거나 또는 구성적으로 같지 않다고 말함으로써 표현되는 것과 같은 y exists Q가 존재한다.
각 실수 x에 대해, x가 0과 같다는 것이 모순된다면, xy = 1과 같은 y ∈ R이 존재한다.

변형된 실현가능성은 마코프의 원리를 정당화하지 못하는데, 비록 메타이론에 고전적 논리가 사용된다고 해도, 단순히 타이핑된 람다 미적분학의 언어에는 실현자가 없다. 이 언어는 튜링-완전하지 않고 임의의 루프는 그 안에서 정의될 수 없기 때문이다.

약한 마르코프의 원리

약한 마르코프의 원칙은 마르코프 원리의 약한 형태로서, 분석 언어에 다음과 같이 명시될 수 있다.

\displaystyle \forall x\in \mathb {R} \(\all y\in \mathb {R} \\ng \neg \neg (0<y>\vee)\ng \ng (y<x)\to 0<x.}

실수의 긍정의 결정성에 대한 조건부 진술이다.

이 형태는 브루워의 연속성 원리에 의해 정당화될 수 있는 반면, 강한 형태는 그것들과 모순된다.따라서 그것은 각각의 경우에 다른 이유로 직관적, 실현 가능성, 고전적 추론에서 도출될 수 있지만, 이 원칙은 비숍의 일반적인 건설적 의미에서는 유효하지 않다.^[3]

참고 항목

참조

^ 앤 S. 트롤스트라직관적 산술과 분석의 변성학적 조사, 스프링거 베라크(1973), 제2판의 정리 4.2.4.
^ 하비 프리드먼.고전적이고 직관적으로 입증 가능한 재귀적 기능.Scott, D. S. and Muller, G. H. Editors, Higher Set 이론, 고등 세트 이론, 수학 강의 노트 699권, Springer Verlag(1978), 페이지 21–28.
^ 울리히 콜렌바흐 "약한 마르코프의 원칙에 따라"Mathematical Logic Quarterly(2002년), vol 48, 발행 S1, 페이지 59–65.

외부 링크

건설 수학 (스탠포드 철학 백과사전)

[1] 앤 S. 트롤스트라직관적 산술과 분석의 변성학적 조사, 스프링거 베라크(1973), 제2판의 정리 4.2.4.

[2] 하비 프리드먼.고전적이고 직관적으로 입증 가능한 재귀적 기능.Scott, D. S. and Muller, G. H. Editors, Higher Set 이론, 고등 세트 이론, 수학 강의 노트 699권, Springer Verlag(1978), 페이지 21–28.

[3] 울리히 콜렌바흐 "약한 마르코프의 원칙에 따라"Mathematical Logic Quarterly(2002년), vol 48, 발행 S1, 페이지 59–65.

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