위치 산술

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위치 산술
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위치 산술(Latin accountae localis)은 존 네이피어가 그의 논문 Rabdology(1617)에서 연산 기법으로 탐구한 첨가(비위치) 2진수 체계로, 상징적으로나 체스판과 같은 격자 위에 있다.

숫자를 나타내기 위해 보드의 카운터 위치를 사용하는 것에서 유래된 네이피어의 용어는 번호 체계가 위치하지 않기 때문에 현재 어휘에서 잠재적으로 오도될 수 있다.

Napier의 시간 동안, 대부분의 계산은 집계표나 시차가 달린 보드에서 만들어졌다.그래서 현대 독자들이 어떻게 볼 수 있는가와 달리, 그의 목표는 판자에 있는 카운터의 움직임을 이용하여 제곱근을 증식하고 나누고 찾는 것이 아니라 상징적으로 계산하는 방법을 찾는 것이었다.

그러나, 보드에 재현할 때, 이 새로운 기술은 정신적 시행착오 연산이나 복잡한 휴대 암기를 요구하지 않았다(기본 10 연산과는 달리).그는 자신의 발견에 매우 기뻐하여 서문에서 이렇게 말했다.

그것은 노동이라기 보다는 종달새라고 더 잘 묘사될 수 있을 것이다. 왜냐하면 그것은 순전히 이곳 저곳으로 카운터들을 이동시킴으로써 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나누기 그리고 제곱근의 추출을 수행하기 때문이다.^[1]

위치숫자

이진 표기법은 아직 표준화되지 않았기 때문에 네이피어는 이진수를 나타내기 위해 위치 숫자라고 부르는 것을 사용했다.Napier의 시스템은 숫자를 나타내기 위해 수화-값 표기법을 사용한다; 그것은 두 개의⁰ 연속적인 힘을 나타내기 위해 라틴 알파벳의 연속적인 문자를 사용한다: a = 2 = 1, b = 2 = 2¹, c = 2² = 4, d = 2³ = 8, e = 2⁴ = 2 = 16 등.

주어진 숫자를 위치 숫자로 나타내기 위해, 그 숫자는 2의 힘의 합으로 표현되고, 그 다음 2의 각 검정력은 해당 숫자(글자)로 대체된다.예를 들어, 십진수 숫자에서 변환하는 경우:

87 = 1 + 2 + 4 + 16 + 64 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2⁴ + 2⁶ = abceg

역 과정을 사용하여 위치 번호는 다른 숫자 시스템으로 변환될 수 있다.예를 들어, 십진수로 변환하는 경우:

abdgkl = 2⁰ + 2¹³ + 2 + 2⁶¹⁰ + 2¹¹ = 1 + 2 + 8 + 64 + 1024 + 2048 = 3147

Napier는 그의 숫자 체계 안과 밖으로 숫자를 변환하는 여러 방법을 보여주었다.이러한 방법은 2진수 체계 내외로 숫자를 변환하는 현대적인 방법과 유사하므로 여기에 표시하지 않는다.나피어는 제곱근을 더하고 뺄셈, 곱셈, 나누기, 추출하는 방법도 보여주었다.

축약형 및 확장형

수화-값 표기법을 사용하는 모든 숫자 시스템에서처럼(위치 표기법을 사용하는 숫자가 아님), 숫자(문자)는 여러 개의 숫자가 하나의 숫자를 나타낼 수 있도록 반복될 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

abbc = acc = adc = 9

또한 자릿수 순서는 중요하지 않다.예를 들면 다음과 같다.

abbc = bbca = bcba = ...= 9

위치 번호의 각 자릿수는 다음 낮은 자릿수의 두 배 값을 나타내기 때문에 동일한 자릿수의 두 발생을 다음 높은 자릿수 중 하나로 대체해도 해당 숫자의 숫자 값은 변경되지 않는다.따라서 위치 번호에 대체 aa → b, bb → c, cc → d 등의 규칙을 반복적으로 적용하면 해당 숫자에서 모든 반복 숫자가 제거된다.

Napier는 이 프로세스 약어와 결과 위치 숫자를 그 숫자의 약칭 형태라고 불렀고, 그는 반복된 자릿수 확장 형태를 포함하는 위치 숫자를 불렀다.각 숫자는 숫자의 순서를 고려하지 않고 고유한 축약형식으로 나타낼 수 있다(예: abc, bca, cba 등 모두 숫자 7을 나타낸다).

산술

덧셈

위치 숫자는 간단하고 직관적인 추가 알고리즘을 허용한다.

1. 끝에서 끝까지 숫자를 맞추다.
2. 필요한 경우 이 결합된 숫자의 숫자를 오름차순으로 다시 정렬하십시오.
3. 이 재배열되고 결합된 숫자를 줄이다.

예를 들어 157 = acdeh 및 230 = bcfgh를 추가하려면 다음 숫자를 끝에서 끝까지 결합하십시오.

acdeh + bcfgh → acdehbcfgh

이전 결과의 자릿수를 재정렬하십시오(acdehbcfgh의 자릿수가 오름차순에 있지 않기 때문).

acdehbcfg → abccdefgh

그리고 이전 결과를 약술한다.

abccdefh → abddefh → abbefh → abbefh → abbhhh → abbhhh → abbhhh → abbhhhh → abbh

최종 결과인 abhi는 387(abhi = 2⁰¹ + 2⁷ + 2⁸ + 2 = 1 + 2 + 128 + 256 = 387)과 같으며, 이는 소수 표기법으로 157과 230을 더하여 달성한 것과 같은 결과다.

뺄셈

뺄셈은 직관적이기도 하지만 차입을 수행하기 위해 확장된 형태까지 축약된 형태를 확장해야 할 수도 있다.

축소하려는 가장 큰 숫자(minuend)를 쓰고 그 숫자에서 하위 숫자(가장 작은 숫자)에 나타나는 모든 숫자를 제거한다.제거할 숫자가 미니언드에 나타나지 않는 경우 유닛을 조금 더 크게 확장하여 빌린다.하위 명령의 모든 자릿수가 제거될 때까지 반복하십시오.

몇 가지 예는 그것이 들리는 것보다 간단하다는 것을 보여준다.

• 77 = acdg에서 5 = acc:

acdg - ac = acdg = dg = 8+64 = 72.

• 77 = acdg에서 3 = ab:

acdg - abbdg - abbdg = abbdg = bdg = 2+8+64 = 74.

• 77 = acdg:에서 7 = abc:

acdg - abccg = abbccg - abccg = abbccg = BCg = 2+4+64 = 70.

두 배, 반감, 홀수 및 짝수

나피어는 그의 시대에 흔히 있는 것처럼 주판 위에 곱하기, 나누기, 제곱근인 나머지 산술로 나아갔다.그러나 마이크로프로세서 컴퓨터의 개발 이후, 많은 적용 가능한 알고리즘이 두 배와 반을 기반으로 개발되거나 부활되었다.

더블링은 그 자체로 숫자를 추가함으로써 이루어지는데, 이것은 각각의 숫자를 두 배로 증가시킨다는 것을 의미한다.이것은 필요한 경우 축약해야 하는 확장된 형태를 제공한다.

이 수술은 또한 숫자의 각 자릿수를 다음으로 큰 숫자로 변경함으로써 한 번에 수행될 수 있다.예를 들어 a의 2배는 b, b의 2배는 c, ab의 2배는 b, acfg의 2배는 bdgh 등이다.

마찬가지로, 2의 힘으로 곱하는 것은 단지 그것의 숫자를 번역하는 것이다.예를 들어 c = 4로 곱하는 것은 a → c, b → d, c → e, ...의 숫자를 변형시키고 있다.

반감이란 두 배의 역순으로, 각 숫자를 다음으로 작은 숫자로 바꾼다.예를 들어 bdgh의 절반은 acfg이다.

반감되는 숫자가 a를 포함하지 않을 때(또는 숫자가 연장된 경우, as의 홀수)에만 실현 가능하다는 것을 즉시 알게 된다.즉, 축약된 숫자는 a를 포함하고 있지 않더라도 이상하다.

이러한 기본 연산(더블링 및 반감)으로 우리는 바이제이션 방법과 디코토믹 검색에 의해 시작되지만 이에 국한되지는 않는 모든 이진 알고리즘을 적용할 수 있다.

곱하기

나피어는 그의 시대에 흔했던 것처럼 주판 위에 곱셈과 나눗셈을 계속했다.그러나 이집트 곱셈은 테이블 없이 곱셈을 두 배, 반감, 덧셈만 사용하여 곱셈을 운반할 수 있는 우아한 방법을 제공한다.

한 자리 숫자에 다른 한 자리 숫자를 곱하는 것은 간단한 과정이다.모든 문자는 2의 검정력을 나타내기 때문에 자릿수를 곱하는 것은 그 지수를 추가하는 것과 같다.이것은 알파벳(a = 0, b = 1, ...)에서 한 자리수의 지수를 찾고, 알파벳(b + 2 => d)의 측면에서 다른 자리수를 그 양만큼 증가시킨다고도 생각할 수 있다.

예를 들어, 4 = c에 16 = e를 곱하십시오.

c * e = 2^2 * 2^4 = 2^6 = g

아니면...

알파벳인덱스(c) = 2이므로...e => f => g

두 자리 숫자의 곱을 찾으려면 두 개의 열 테이블을 만드십시오.왼쪽 열에 첫 번째 숫자의 숫자를 쓰고, 다른 숫자 아래에 하나를 쓴다.왼쪽 열의 각 숫자에 대해 해당 숫자와 두 번째 숫자를 곱한 후 오른쪽 열에 기록하십시오.마지막으로, 오른쪽 열의 모든 숫자를 함께 추가한다.

예를 들어 238 = BCdfgh에 13 = acd를 곱하십시오.

a	bcdfgh
c	데프히즈
d	에프지크

결과는 오른쪽 열 BCdfgh defhijijk = BCddeefffghijk = BCdeffhijkijk = BCekl = 2+4+16+1024+2048 = 3094의 합이다.

왼쪽 열도 짝수를 뺀 첫 번째 숫자의 반을 연속해서 얻을 수 있다는 점이 흥미롭다.이 예에서는 acd, bc(짝수), ab, a.오른쪽 열에 두 번째 숫자의 연속적인 두 배가 들어 있는 것을 보면 농민 곱셈이 정확한 이유를 알 수 있다.

분할, 나머지

분할은 연속적인 감산에 의해 수행될 수 있다: 몫은 분배자를 배당금에서 뺄 수 있는 시간이고, 나머지는 가능한 모든 감산 후 휴식하는 시간이다.

이 과정은 매우 길 수 있는데, 만약 우리가 divisor 대신 divisor의 배수를 뺄 경우 효율적일 수 있고, 우리가 2의 힘으로 divisor로 제한한다면 계산이 더 쉬워질 수 있다.

사실 이것은 장분할법으로 하는 것이다.

격자

위치 산술은 격자의 각 사각형이 값을 나타내는 사각 격자를 사용한다.격자의 양면에는 2의 증가된 힘이 표시된다.어떤 내부 사각형이라도 이 두 면에 있는 두 개의 숫자로 식별할 수 있는데, 하나는 내부 사각형 아래 수직이고 다른 하나는 오른쪽 끝에 있다.제곱의 가치는 이 두 숫자의 산물이다.

격자 예제

						32
						16
						8
		32				4
						2
						1
32	16	8	4	2	1

예를 들어, 이 예제의 사각형은 오른쪽 열에 4가 있고 아래쪽 행에 8이 있기 때문에 32를 나타낸다.그리드 자체는 어떤 크기든 될 수 있고, 더 큰 그리드는 단순히 우리가 더 많은 숫자들을 처리할 수 있게 해준다.

한 칸을 왼쪽으로 이동하거나 한 칸 위로 이동하면 값이 두 배가 된다는 점에 유의하십시오.이 속성은 그리드의 단일 행만 사용하여 이진 추가를 수행하는 데 사용할 수 있다.

덧셈

먼저, 숫자의 1을 나타내는 카운터를 사용하여 행에 이진수를 배치한다.예를 들어 29(=2진수 11101)는 다음과 같이 보드에 배치된다.

한 줄에 11101(=29)

0	1	1	1	0	1

숫자 29는 분명히 카운터가 있는 제곱 값의 합이다.이제 이 행에 두 번째 번호를 오버레이하십시오.이렇게 9(=이진수 1001)를 붙였다고 하자.

오버레이 1001(= 9)

0	0	1	0	0	1

이 두 숫자의 합은 판의 카운터로 대표되는 총값일 뿐이지만, 일부 사각형에는 카운터가 하나 이상 있다.그러나 광장의 왼쪽으로 이동하는 것은 그 가치를 배가시킨다.그래서 우리는 정사각형의 두 개의 카운터를 보드의 총 값을 바꾸지 않고 왼쪽에 있는 하나의 카운터로 교체한다.이것은 위치 숫자를 줄여서 사용하는 것과 동일한 아이디어라는 점에 유의하십시오.먼저 가장 오른쪽 쌍의 카운터를 왼쪽의 카운터로 교체하여 다음과 같은 기능을 제공하십시오.

←

아직 카운터 두 개가 있는 다른 광장이 있으니 다시 해봐야죠.

←

하지만 이 쌍을 교체하면 두 개의 카운터가 있는 또 다른 사각형이 만들어지므로 우리는 세 번째로 교체한다.

결과 100110 = 38

	←
1	0	0	1	1	0

이제 각 사각형에는 카운터가 하나뿐이고 결과를 이진수 100110(= 38)으로 읽어보면 정확한 결과가 나온다.

뺄셈

감산하는 것은 덧셈보다 훨씬 더 복잡하지 않다: 우리는 게시판에 카운터를 추가하는 대신에 그것들을 제거한다.값을 "빌려"하기 위해 우리는 사각형의 카운터를 오른쪽에 있는 두 개로 교체한다.

38에서 12를 어떻게 빼는지 봅시다.38위(=2진수 100110)를 연속해서 1위, 12위(=2진수 1100)를 그 밑에 놓는다.

						38
						12

카운터가 위에 있는 아래쪽 행의 모든 카운터에 대해 두 카운터를 모두 제거하십시오.보드에서 이러한 쌍 중 하나를 제거하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

			↓
			↓

이제 우리는 하단에 남아 있는 카운터를 없애기 위해 카운터를 "빌릴" 필요가 있다.먼저 상단 행의 맨 왼쪽 카운터를 오른쪽의 두 개로 교체하십시오.

→

이제 두 카운터 중 하나를 오른쪽에 있는 두 카운터로 교체하십시오.

이제 맨 위 행의 카운터 중 하나를 아래쪽 행에 남아 있는 카운터로 가져갈 수 있다.

11010 = 26

		↓

그리고 최종 결과인 26을 낭독했다.

그리드의 일부 속성

덧셈과 뺄셈과는 달리 전체 격자는 제곱근을 증식, 분할, 추출하는 데 사용된다.그리드는 이러한 운용에 이용되는 몇 가지 유용한 속성을 가지고 있다.첫째, 왼쪽 아래에서 오른쪽 위까지 가는 대각선의 모든 제곱은 같은 값을 갖는다.

		256				32
	256				16	16
256				16		8
			16			4
		16				2
	16					1
32	16	8	4	2	1

대각선 이동을 오른쪽으로의 이동(값의 절반)에 이어 위로 이동(값의 2배)으로 나눌 수 있기 때문에 제곱의 값은 그대로 유지된다.

그 대각선 속성과 함께, 그리드의 하단 가장자리와 오른쪽 가장자리의 숫자를 빠르게 나누는 방법이 있다.

32 ÷ 8

						32
						16
						8
			→	→	→	4
						2
						1
32	16	8	4	2	1

오른쪽을 따라 배당금 32와 격자 하단 가장자리 8을 찾는다.배당금에서 대각선을 확장하고 분할자에서 수직선과 교차하는 정사각형을 찾는다.이 정사각형에서 그리드의 오른쪽 끝에 지수가 있는데, 예를 들면 4이다.

이게 왜 효과가 있지?대각선을 따라 움직인다고 해서 값이 달라지는 것은 아니다. 교차로에 있는 사각형의 값은 여전히 배당이다.하지만 우리는 그것이 바닥과 오른쪽 가장자리를 따라 있는 사각형의 산물이라는 것도 알고 있다.맨 아래 가장자리의 사각형이 칸막이기 때문에 오른쪽 가장자리의 사각형이 몫이다.

Napier는 아래와 같이 임의의 두 숫자를 나누기 위해 이 아이디어를 확장한다.

곱하기

한 쌍의 이진수를 곱하려면 먼저 격자의 하단과 오른쪽에 두 숫자를 표시하십시오.22(=1010)에 9(= 1001)를 곱하고 싶다고 하자.

10110 * 1001

						1
						0
						0
						1
	1	0	1	1	0

이제 카운터를 각 번호에 있는 1s의 수직 및 수평 행의 모든 "인터섹션"에 배치하십시오.

						1
						0
						0
						1
	1	0	1	1	0

그리드의 각 카운터 행에 2의 전력이 22 곱한 것에 주목하십시오.실제로 카운터의 총 값은 두 행의 합이다.

22*8 + 22*1 = 22*(8+1) = 22*9

그래서 게시판에 있는 카운터는 실제로 두 개의 숫자의 곱을 나타내는데, 다만 아직 답을 "읽어낼" 수는 없다.

카운터를 대각선으로 이동해도 값이 변경되지 않는다는 점을 기억해 두십시오.따라서 안쪽 사각형의 모든 카운터가 아래쪽 행이나 왼쪽 열에 닿을 때까지 대각선으로 이동하십시오.

이제 우리는 덧셈을 위해 했던 것과 같은 동작을 한다.사각형의 두 카운터를 왼쪽으로 한 카운터로 교체한다.정사각형이 왼쪽 열에 있는 경우 두 개의 카운터를 그 위에 있는 카운터로 교체하십시오.위로 이동하면 사각형 값이 두 배로 증가하므로 그리드의 값이 변경되지 않는다는 점을 기억하십시오.

우선 아래쪽에 있는 두 번째 칸에 있는 두 개의 카운터를 왼쪽 한 개로 바꿔서 모퉁이에 두 개의 카운터를 남겨두자.

	←

마지막으로, 코너에 있는 두 개의 카운터를 그 위에 있는 것으로 교체하고, 왼쪽 위부터 왼쪽 아래 구석까지, 그리고 오른쪽 아래까지 L자 모양으로 이진수를 "읽어 끄기" 한다.

결과 11000110

1
1
	↑
	0	0	0	1	1	0

L을 따라 카운터를 읽되 코너 정사각형을 이중으로 세지 마십시오.2진수 11000110 = 198, 실제로 22*9를 읽게 될 것이다.

왜 우리는 이런 L자 모양으로 이진수를 읽을 수 있을까?맨 아래 줄은 물론 2의 처음 여섯 권력에 불과하지만, 맨 왼쪽 칸에는 2의 다음 다섯 권력이 있다는 것을 알 수 있다.그래서 우리는 그리드의 왼쪽과 아래쪽을 따라 놓여있는 11개의 사각형의 L자형 세트에서 11자리 이진수를 직접 읽을 수 있다.

1024	↓
512	↓
256	↓
128	↓
64	↓
	→	→	→	→	→	→
	32	16	8	4	2	1

우리의 작은 6x6 격자는 각각 63개까지만 곱할 수 있고, 일반적으로 nxn 격자는 각각 2개의 숫자를ⁿ 2-1개까지 곱할 수 있다.이것은 매우 빠르게 확장되기 때문에, 예를 들어, 한 면당 20개의 숫자로 승선하는 것은 각각 100만 개 이상의 숫자들을 곱할 수 있다.

나누기

마르틴 가드너는 나피어의 분할 방식을 조금 더 이해하기 쉬운 버전으로 제시했는데, 이것이 바로 여기에 나와 있다.

나눗셈은 곱셈과 거의 반대로 작용한다.485를 13으로 나누고 싶다고 말해.맨 아래 가장자리를 따라 485(= 111100101)의 1위 카운터, 오른쪽 가장자리를 따라 13(= 1101)을 표시한다.공간을 절약하기 위해, 우리는 보드의 직사각형 부분을 볼 것이다. 왜냐하면 그것이 우리가 실제로 사용하는 전부이기 때문이다.

485 ÷ 13

									1
									1
									0
									1

왼쪽부터 카운터를 대각선으로 이동하여 "점수의 색상"(즉, 각 행에 1개의 카운터가 점수의 1로 표시됨)으로 하는 게임이다.가장 왼쪽의 카운터 블록으로 이것을 보여줍시다.

									1
									1
									0
									1
			↑

이제 우리가 시도할 수 있는 카운터의 다음 블록은 맨 아래에 있는 가장 왼쪽 카운터에서 시작되며, 우리는 다음과 같은 것을 시도할 수 있다.

									1
					?				1
									0
					?				1

아래 가장자리에서 대각선으로 이동할 수 있는 카운터가 없다는 점을 제외하면, 나머지 "분할기둥"을 형성할 수 있는 정사각형이다.

이럴 때는 대신 맨 아래 줄에 있는 카운터를 '더블 다운'하고 오른쪽 위에 한 칸을 만든다.곧 보게 되겠지만, 이런 식으로 칼럼을 구성하는 것은 언제나 가능할 것이다.그러므로 먼저 하단의 카운터를 오른쪽에 있는 두 개의 카운터로 교체하십시오.

									1
									1
									0
									1
		→

그리고 나서 하나를 대각선으로 기둥 꼭대기로 이동하고, 보드 가장자리에 위치한 다른 카운터를 그 자리로 이동시킨다.

									1
						?			1
									0
									1
						↑

아직 아래쪽 가장자리에 카운터가 없어서 대각선으로 남은 칸으로 이동할 수 없을 것 같은데, 대신 가장 왼쪽 칸으로 다시 두 번 내려간 다음 원하는 칸으로 옮길 수 있다는 것을 알아차린다.

									1
						?			1
									0
									1
			→

이제 카운터를 대각선 방향으로 이동하십시오.

									1
									1
									0
									1

다음 칼럼을 계속 짓자.다시 한 번, 맨 왼쪽 카운터를 기둥의 맨 위로 이동하면 Npt는 나머지 사각형을 채울 수 있는 충분한 카운터를 하단에 남겨둔다는 것을 주목하라.

									1
							?		1
									0
							?		1

그래서 우리는 카운터를 두 겹으로 내려서 대각선 방향으로 다음 칸으로 이동시킨다.가장 오른쪽 카운터를 기둥으로 옮기자. 그리고 여기 이 단계들을 어떻게 보는지가 있다.

									1
								?	1
									0
									1
				→				↑

우리는 여전히 행방불명된 광장을 가지고 있지만, 우리는 다시 두 번 내려서 카운터를 이 자리에 옮겨 놓고 끝내는 것이다.

			1	0	0	1	0	1
									1
									1
									0
									1
					→

이때 하단 가장자리의 카운터는 오른쪽으로 너무 멀어 어떤 기둥의 꼭대기까지 대각선으로 갈 수 없으며, 이것은 우리가 끝났음을 알리는 신호다.

결과는 열에서 "읽기"된다. 카운터가 있는 각 열은 1로 처리되고 빈 열은 0으로 처리된다.따라서 결과는 100101(= 37)이고 나머지는 하단 가장자리를 따라 여전히 남아 있는 카운터의 이진수 값이다.오른쪽에서 세 번째 칸에 카운터가 하나 있어서 100(=4)으로 읽으면 485 ÷ 13 = 37, 나머지 4가 나온다.

제곱근

네이피어의 방법

이 과정은 사각형 모양을 만들기 위해 주판(보드)에 카운터를 추가해야 한다.149페이지의 윗부분은 이 과정을 설명하는 도표를 보여준다.보드에 카운터를 한 개 배치하는 것으로 시작하십시오(실제로 점 제곱 중 하나에 해당).인접한 다른 카운터 3개(또는 빈 행과 열 사이에 빈 행과 열이 있는 카운터와 처음 배치된 카운터)를 추가하면 주판 위에 또 다른 사각형 모양이 나타난다.이와 유사하게 여기에 다른 5개의 카운터를 추가하면(표시된 빈 행과 열의 유무에 따라) 훨씬 더 큰 사각형이 된다.고려할 숫자를 선택하고 값을 나타내는 한 여백을 따라 카운터를 배치하십시오.그 값에서 가장 큰 카운터의 위치로부터, 대각선(비숍의 동작)을 보드를 가로질러 점으로 된 정사각형에 이를 때까지 따라라.저 사각형 위에 카운터를 놓아라.이 단일 카운터가 나타내는 값을 여백의 원래 숫자에서 빼십시오.3개(5, 7, ...의 후속 단계를 위해)를 추가하여 판에 사각형을 만들고, 그 숫자가 너무 커서 빼지 못하거나 판에 남은 공간이 없을 때까지 여백의 숫자에서 추가된 카운터의 값을 뺀다.당신은 큰 사각형의 카운터(아마도 그 사이에 빈 행과 열이 있을 것이다)를 보드에 남겨두어야 한다.사각형의 각 행에 있는 카운터 중 하나를 여백으로 이동시키면 이 한계 카운터의 위치는 숫자의 제곱근을 산출한다.

Napier는 1238의 제곱근을 결정하는 예를 제공한다.가장 큰 카운터는 1024 위치에 있으므로 첫 번째 카운터는 1024 대각선(32,32 위치)을 아래로 이동하여 찾은 점에 배치한다.원래 번호에서 이 값(1024)을 빼면 카운터가 128, 64, 16, 4 및 2(= 214)로 남는다.카운터를 3개 배치하여 첫 번째 카운터와 정사각형을 형성하지만 214에서 여전히 감산할 수 있는 값은 32,2, 2,2 및 2,32(이 경우 값은 214 = 82의 나머지 값에서 빼면 64, 4, 64) 위치에 카운터가 생긴다.다음 사각형은 5개의 카운터에서 만들 수 있지만, 그 5개의 카운터의 값은 여전히 82개에서 뺄 수 있는 것으로, 32,1; 2.1; 1.2; 및 1,32 위치에 카운터가 있다.이 5개 카운터의 값은 총 69로 82에서 빼면 13이 남는다.보드에 더 이상 공간이 없기 때문에 우리는 멈춰야 한다.각 행에서 카운터를 한 개씩 여백(32, 2열, 1열)으로 이동하면 이 값(35)은 필요한 제곱근 또는 적어도 그 정수 부분(실제 값은 35.1852....)이다.

Napier는 2209(= 47)의 제곱근을 계산하는 두 번째 예를 제공한다.^[1]

참고 항목

• 제톤

참조

1. ^ John Napier; William Frank Richardson 번역; Robin E 소개.라이더(1990).광견병학.MIT 프레스. ISBN0-262-14046-2.
2. ^ 마틴 가드너(1986)매듭을 지은 도너츠와 다른 수학 오락물들.W. H. Freeman and Company.ISBN 0-7167-1794-8

특정

외부 링크

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