점근 분포

수학 및 통계학에서 점근 분포는 어떤 의미에서 분포의 일련의 "제한적" 분포인 확률 분포다. 점근 분포 아이디어의 주요 용도 중 하나는 통계 추정기의 누적 분포 함수에 근사치를 제공하는 것이다.

정의

분포의 순서는 i = 1, 2, ... I에 대한 랜덤 변수 Z의_i 순서에 해당한다. 가장 간단한 경우, Z의_i 확률 분포가 i의 증가에 따라 확률 분포(증상 분포)로 수렴되는 경우 점증 분포가 존재한다. 분포의 수렴을 참조한다. 점증적 분포의 특별한 경우는 i가 무한대에 가까워질 때 랜덤 변수의 순서가 항상 0이거나_i Z = 0인 경우다. 여기서 점근분포는 값 0에 해당하는 퇴행분포다.

그러나 무증분포라는 용어가 사용되는 가장 일반적인 의미에서는 무작위 변수_i Z가 비랜덤 값의 두 시퀀스에 의해 수정되는 경우가 발생한다. 그러므로 만약

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a}{b_{i}}}}}:{b_{i}}}}}}}}}}}}}$

두 시퀀스 {a_i}과(와_i) {b}에 대한 비감속 분포로 수렴하면 Z는_i 그러한 분포를 점증적 분포로 갖는다고 한다. 점근 분포의 분포 함수가 F인 경우, 큰 n의 경우 다음과 같은 근사치가 유지된다.

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}}{b_{n}}\leq x\right)\관련 F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\약간 F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\오른쪽).}$

점근 분포가 존재하는 경우, 임의 변수의 시퀀스 중 하나의 결과가 반드시 숫자의 수렴 순서라는 것은 아니다. 그것은 수렴되는 확률 분포의 순서다.

중앙 한계 정리

아마도 무증분포로서 발생하는 가장 흔한 분포는 정규분포일 것이다. 특히 중심 한계정리는 점근분포가 정상분포인 예를 제공한다.

중앙 한계 정리

{X₁, X₂, ...라고 가정합시다.}}은(는) E[X_i] = µ, Var[X_i] = σ² < σ. S를_n {X₁, ..., X_n}의 평균으로 한다. 그런 다음 n이 무한대에 접근하면 랜덤 변수 √n(S_n - µ)이 분포에서 정규 N(0², µ)으로 수렴된다.^[1]

중앙 한계 정리는 점증적 분포만 준다. 한정된 수의 관측치에 대한 근사치로서, 정규 분포의 정점에 가까울 때만 합리적인 근사치를 제공하며, 꼬리로 뻗기 위해서는 매우 많은 수의 관측치가 필요하다.

국소 점근성 정규성

국소 무증상 정규성은 중심 한계 정리를 일반화한 것이다. 그것은 일련의 통계적 모델의 속성으로, 매개변수의 재조정 후에 이 시퀀스를 정상 위치 모델에 의해 점증적으로 근사하게 추정할 수 있다. 국소 무증상 정규성이 보유하는 중요한 예는 정규 파라메트릭 모델에서 독립적이고 동일한 분포의 표본 추출의 경우에 있다. 이것은 단지 중심 한계 정리일 뿐이다.

Barndorff-Nielson & Cox는 무증상 정규성의 직접적인 정의를 제공한다.^[2]

참고 항목

• 점근해석
• 점근 이론(통계)
• 드 모이브르-라플라스 정리
• 이산형 점의 밀도 제한
• 델타법

참조