레전드르의 관계

수학에서 레전드레의 관계는 완전한 타원형 적분 사이의 관계로서 또는 타원함수의 기간과 퀘이페리오드의 관계로서 두 가지 형태 중 하나로 표현될 수 있다.두 형태는 마침표와 퀘이페리오드는 완전한 타원형 통합의 관점에서 표현될 수 있다.A. M. 레전드르(1811, 1825, 페이지 61)에 의해 도입되었다.

완전한 타원형 적분

완전한 타원형 적분법을 사용하여 언급된 레전드르의 관계는

${\displaystyle K'E+KE'-K'={\frac {\pi }{2}}:}$

여기서 K와 K′은² k + ²k = = 1을 만족하는 값에 대한 제1종류의 완전한 타원형 통합이며, E와 E′은 제2종류의 완전한 타원형 통합이다.

레전드르 관계의 이러한 형태는 완전한 타원형 적분(미분 방정식의 해법으로 간주)의 Wronskian이 상수라는 사실을 표현한다.

타원 함수

타원 함수를 사용하여 언급된 레전드레의 관계는

${\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}$

여기서 Ω과₁ Ω은₂ Weierstrass 타원함수의 기간이며, η과₁ η은₂ Weierstrass zeta 함수의 quasiiod이다.일부 저자들은 2의 요인에 따라 다른 방식으로 이들을 정상화하는데, 이 경우 레전드레 관계의 오른손은 πi 또는 πi / 2이다.이러한 관계는 기본 영역의 경계선에 대한 위어스트라스 제타 함수를 통합하고 카우치의 잔류 정리를 적용함으로써 증명할 수 있다.

참조

• Duren, Peter (1991), "The Legendre relation for elliptic integrals", in Ewing, John H.; Gehring, F. W. (eds.), Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics, New York: Springer-Verlag, pp. 305-315, doi:10.1007/978-1-4612-0967-6_32, ISBN 0-387-97509-8, MR 1113282
• Karatsuba, E. A.; Vuorinen, M. (2001), "On hypergeometric functions and generalizations of Legendre's relation", J. Math. Anal. Appl., 260 (2): 623–640, MR 1845572
• Legendre, A.M. (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, vol. I, Paris
• Legendre, A.M. (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, vol. I, Paris