L-노트

L-notation은 big-O 표기법과 유사한 점증법 기호로 무한대로 이어지는 바운드$$ $변수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ $L_{n}[\alpha,$$c]$에 $대해$ L ${\displaystyle n_{}}$ [${\displaystyle \alpha {}_{}}$, ${\displaystyle c]}$로 표시된다.빅O 표기법과 마찬가지로 특정 알고리즘의 계산 복잡성을 대략적으로 전달하는 데 주로 사용된다.

정의

로 정의된다.

${\displaystyle L_{n}[\alpha ,c]=e^{(c+o(1))(\lnn)^{\lfa }(\ln \ln)^{1-\alpha }}}}}$

여기서 c는 양의 상수이고, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) $상수{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$1 ${\displaystyle 0\leq \req$ 1$}$이다$.$

L-통지는 어려운 숫자 이론 문제에 대한 알고리즘의 복잡성을 표현하기 위해 주로 계산 수 이론에 사용된다. 예를 들어 정수 인자화에 대한 체와 이산 로그 해결을 위한 방법.이 표기법의 장점은 이러한 알고리즘의 분석을 단순화한다는 것이다.The ${\displaystyle e^{c(\ln n)^{\alpha }(\ln \ln n)^{1-\alpha }}}$ expresses the dominant term, and the ${\displaystyle e^{o(1)(\ln n)^{\alpha }(\ln \ln n)^{1-\alpha }}}$ takes care of everything smaller.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 0이면$$

${\displaystyle L_{n}[\alpha ,c]=L_{n}[0,c]=e^{(c+o(1))\ln \lnn}=(\ln n)^{c+o(1)\,}$

ln n의 다항식 함수.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 1이면$$

${\displaystyle L_{n}[\alpha ,c]=L_{n}[1,c]=e^{(c+o(1))\lnn}=n^{c+o(1)\,}$

ln n의 완전 지수 함수(따라서 n의 다항식).

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 0과 1 사이인$$ 경우 함수는 ln n(및 superpolynomial)의 하위존재다.

예

많은 범용 정수 인자화 알고리즘은 하위 시간 복잡성을 가지고 있다.최고는 일반수 필드 체로 예상 가동시간이 있다.

${\displaystyle L_{n}[1/3,c]=e^{(c+o(1))(\lnn)^{1/3}(\ln \ln)^{2/3}}}$

$c{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 64}$/ ${\displaystyle 9\mathrm{}{}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1.923}$ ${\displaystyle c=(64/9)^{1/3}\$ 약 $1.923$ .숫자 필드 체에 앞서 가장 좋은 알고리즘은 러닝타임이 있는 2차 체였다.

${\displaystyle L_{n}[1/2,1]=e^{(1+o(1))(\lnn)^{1/2}(\ln \ln)^{1/2}.\,}$

타원 곡선 이산 로그 문제의 경우 가장 빠른 범용 알고리즘은 그룹 순서 n의 제곱근 순서에 따라 실행 시간이 있는 베이비 스텝 거대 스텝 알고리즘이다.L-notation에서 이것은

${\displaystyle L_{n}[1,1/2]=n^{1/2+o(1)}\,}$

다항식 시간에 실행되는 AKS 원시성 테스트의 존재는 원시성 테스트의 시간 복잡성이 기껏해야 큰 것으로 알려져 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle L_{n}[0,c]=(\lnn)^{c+o(1)}\,}$

여기서 c는 기껏해야 6인 것으로 증명되었다.^[1]

역사

L-notation은 문헌 전반에 걸쳐 다양한 형태로 정의되어 왔다.그것의 첫 번째 사용은 그의 논문 "일부 정수 인수 알고리즘의 분석과 비교"^[2]에서 칼 포머런스에서 나왔다.이 폼에는 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 매개$$ 변수만 있었다. 공식의$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\alpha }$은(는$)$ 분석 중인 알고리즘의$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/$2이었다$포머런스는 많은 로그가 포함된 공식 및 이전 논문에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}($또는 소문자 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ l$\})$이라는 문자를 사용해 왔다.

위의 두 매개변수를 포함하는 공식은 Arjen Lenstra와 Hendrik Lenstra가 "숫자 이론의 알고리즘"^[3]에 관한 기사에서 소개하였다.그것은 Copersmith의 이산 로그 알고리즘 분석에서 도입되었다.이것은 오늘날 문헌에서 가장 흔히 쓰이는 양식이다.

응용암호화 핸드북은 이 글에서 제시된 공식에 대한$$ $큰{\displaystyle }$ O$${\$displaystyle O}$을(^[4]를) 사용하여 L-노트를 정의한다.이것은 표준 정의가 아니다.큰 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$는 실행 시간이 상한임을 시사한다.그러나 L-notation이 일반적으로 사용되는 정수 인수 및 이산 로그 알고리즘의 경우 실행 시간이 상한값이 아니므로 이 정의를 선호하지 않는다.

참조