칼만 분해

제어 이론에서, Kalman 분해는 시스템의 관찰 가능하고 통제 가능한 구성요소를 명확히 하는 표준 형태로 분해될 수 있는 선형 시간 변이성(LTI) 제어 시스템의 표현을 변환하는 수학적 수단을 제공한다.이러한 분해는 시스템의 도달 가능하고 관측 가능한 하위 공간에 대한 결론을 더 쉽게 도출할 수 있도록 하는 보다 밝은 구조로 시스템을 제시하게 한다.

정의

연속 시간 LTI 제어 시스템 고려

${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle Bu}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\dot{x}}(t)=Ax(t)+Bu(t$

${\displaystyle y}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= C ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t$

또는 이산 시간 LTI 제어 시스템

${\displaystyle x}$( ${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= A ${\displaystyle x}$( k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle Bu}$ ( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k$

${\displaystyle y}$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= C ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle Du}$ ( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k$

Kalman 분해는 원래 행렬을 다음과 같이 변형하여 얻은 이 시스템의 실현으로 정의된다.

${\$$TA{T}^{-1$

${\displaystyle \,{\hat{B}}=$$TB$

구문 분석 실패(SVG 또는 PNG 폴백(현대 브라우저 및 내게 필요한 옵션 도구에 권장): 잘못된 응답("산술 확장자는 Restbase에 연결할 수 없음"): 서버 "/mathoid/local/v1/"): {\displaystyle \, {\hat{C}}} = C{T}^{-1}, ,

${\displaystyle \stackrel{}{D}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \,{\hat {D}=D$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}^{}}$서 ${\displaystyle T{}^{}}$- 1 ${\$는 다음과 같이 정의된 좌표 변환 행렬이다.

${\$$T_{r{\overline{o}}&$$T_{ro}&T_{\overline{ro}}&$$gt;$$T_{{\overline{r}o}\end{bmatrix$

그리고 누구의 잠수함이

• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ $"{\$\,$T_{r{\overline{o}}}}$ : 도달 가능하거나 관측할 수 없는 상태의 하위 공간에 걸쳐 있는 행렬.
• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$ $$:[ ${\$의 열이 선택됨$T_{r{\overline{o}}&$$T_{ro}\end{bmatrix}}}$은(는) 도달 가능한 하위 공간의 기본이다.
• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {r\stackrel{}{}}_{}}$ ${\$: $$[ r ${\$의 컬럼이 선택됨$T_{r{\overline{o}}&$$T_{\overline{ro}}\end{bmatrix}}$은(는) 관측할 수 없는 하위 공간의 기본이다.
• ${\displaystyle T_{}}$ ${\$T $$r {\$displaystyle \,{\begin{bmatrix}]$가 선택됨$T_{r{\overline{o}}&$$T_{ro}&T_{\overline{ro}}&$$gt;$$T_{{\overline{r}o}\end{bmatrix}}}$은(는) 되돌릴 수 없다.

이러한 행렬 중 일부는 치수 0을 가질 수 있다는 것을 알 수 있다.예를 들어, 시스템이 관측 가능하고 제어 가능한 경우 ${\displaystyle {\mathrm{T}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$= T ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$ 다른 행렬을 0 치수로 만든다.

결과들

관리 가능성과 관찰 가능성의 결과를 사용하여 변환된 시스템${\displaystyle (A\stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle B\stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle C\stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle D\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle$ \, $({\hat {A},{\hat {B},{\hat{C$},{\$hat {D})}})$의 행렬이 다음과 같은 형태로 있음을$$ 알 수 있다.

${\displaystyle \,{\hat {A}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline{o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\0&AA_{ro}&0&&A_{24}\\0&0&&A_{\overline{ro}}&A_{34}\\0&0&0&# A_{{\overline{r}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {B}={\begin{bmatrix}B_{r}\{r}\\overline{o}\\B_{ro}\0\\end{bmatrix}}}}}}}}$

${\displaystyle \,{\hat {C}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}}}}}}}$

${\displaystyle \,{\hat {D}=D}$

이렇게 하면 다음과 같은 결론이 나온다.

• 서브시스템${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$, D${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$은(는) 도달할 수 있고 관측할 수 있다$$.
• 서브시스템 a ,[ B ,[ , ) ${\$$A_{r{\overline{o}}}&A_{12}\\0&$$A_{ro}\end{bmatrix},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline{o}\\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix},D\rigin)}$에 도달할 수 있다.
• 서브시스템 r A A [ [ D )${\$$A_{ro}&A_{24}\\0&$$A_{{\overline{r}o}\end{bmatrix},{\begin{bmatrix}B_{ro}\0\end{bmatrix}C_{\overline{r}o}\end{bmatrix},D\right}}}},$ 관찰할 수 있다.

변형

Kalman 분해는 선형 동적 양자 시스템에도 존재한다.이 변종에서 사용되는 좌표 변환은 고전적인 역동적 시스템과 달리 양자역학의 물리적 법칙으로 인해 특정한 종류의 변환을 필요로 한다.^[1]

참고 항목

• 실현(시스템)
• 관측성
• 제어 가능성

참조

외부 링크

• 동적 시스템 및 제어에 대한 강의, 강의 25 - Mohamed Dahleh, Munder Dahleh, George Verghese - MIT OpenCourseWare