반복적 미세화

반복적인 정교화는 제임스 H가 제안한 반복적인 방법이다. 선형 방정식 시스템에 대한 수치 해법의 정확성을 향상시키기 위한 Wilkinson.^[1][2]

When solving a linear system ${\displaystyle \,\mathrm {A} \,\mathbf {x} =\mathbf {b} \,,}$ due to the compounded accumulation of rounding errors, the computed solution ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ may sometimes deviate from the exact solution ${\displaystyle \mathbf {x} _{\sta$$r }\,.}$ Starting with ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\hat {\mathbf {x} }}\,,}$ iterative refinement computes a sequence ${\displaystyle \{\,\mathbf {x} _{1},\,\mathbf {x} _{2},\,\mathbf {x} _{3},\,...$$\}}}}.$ $특정$ 가정이 충족되면$$ x ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} _{\star }\...}($으)로 수렴.

설명

$m$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,$3$,${\displaystyle }$.$$. .${\displaystyle }$. . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(i)	잔차 계산 error rm	${\displaystyle \mathbf {r} _{m}=\mathbf {b} -\mathrm {A} \mathbf {x} _{m}\,}$
(ii)	교정을 위한 시스템을 해결하십시오. cm,잔류오차를 제거한다.	${\displaystyle \mathrm {A} \,\mathbf {c} _{m}=\mathbf {r} _{m}\,}$
(iii)	수정 내용을 추가하여 수정된m+1 다음 솔루션 x	${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {x} _{m}\m},}$

미세화 알고리즘의 중요한 논거는 단계(ii)의_m c에 대한 솔루션이 첫 번째 $솔루션$인 x$^$ {\$displaystyle$ {\$hat${\$mathbf{x}}}$과 유사한 오류로 인해 실제로 문제가 발생할 수 있지만, 단계(i)의 잔존_m r 계산은 수치상 거의 정확하다는 것이다$.$여러분은 정답을 잘 알지 못할 수도 있지만, 여러분이 손에 쥐고 있는 해결책이 정확한 결과 (b)를 산출하는 것에서부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 아주 정확하게 알고 있다.잔차가 어떤 의미에서는 작을 경우 수정도 작아야 하며, 최소한 답안의 현재 추정치인_m x를 원하는 값인 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle \star {}_{}}$에 가깝게 조정해야 한다$.$ {\$displaystyle \mathbf {x} _${\star$$}\,.}

는 잔류 기업이 0인 때 회사도 선형 algebraist 공정이 더 이상 refi을 지속할 가치가 모니터링하고 있는 작지만 반복 주기 그들의 학생들에 의해, 또는 가까이 0에 상응하는 수정)너무 그 프로를 제작했죠 xm은 해결책을 바꿀 작은, 대안적 알고리즘을 멈추지 않을 것이다.nemeNTS

오류분석

경험 법칙으로서, 가우스 제거를 위한 반복적인 정교함은 예를 들어 4배 또는 2배 확장 정밀도 IEEE 754 부동점을 사용하여 r의 계산에 작업 정밀도를 두 배로 사용하는 경우, 그리고 A가 너무 불량한 상태가 아닌 경우(그리고 반복과 수렴 속도를 결정하는 경우) 작업 정밀도에 맞는 솔루션을 생산한다.d 조건 번호 A)^[3]로 한다.

좀 더 공식적으로, 각 단계 (ii)가 합리적으로 정확하게 해결될 수 있다고 가정하면, 즉, 수학적인 용어로, 매 m에 대해, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \mathrm {A} \,\left(\mathrm {I+F} _{m}\right)\mathbf {c} _{m}=\mathbf {r} _{m}}}$

여기서 ‖F_m‖_∞ < 1은 반복 정밀도의 m번째 반복에서 상대적 오류를 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {\lVert \mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{\star }\rVert _{\infty }}{\lVert \mathbf {x} _{\star }\rVert _{\infty }}}\leq {\bigl (}\sigma \,\kappa (\mathrm {A} )\,\varepsilon _{1}{\bigr )}^{m}+\mu _{1}\,\varepsilon _{1}+n\,\kappa (\mathrm {A} )\,\mu _{2}\,\varepsilon _{2}}$

어디에

• ‖·‖_∞은 벡터의 ∞-norm을 나타낸다.
• κ(A)는 A의 조건 번호로,
• n은 A의 순서,
• ε과₁ ε은₂ 부동 소수점 산술 연산의 단위 반올림이다.
• σ, μ₁, μ는₂ A, ε₁, ε에₂ 의존하는 상수다.

A가 "너무 심하게 조건화되지 않음"인 경우, 이 맥락에서 A는

0 < σ κ(A) ε₁ 1 1

그리고 μ와₁ μ는₂ 질서가 일치한다는 것을 암시한다.

ε과₁ ε의₂ 구분은 최종 결과가 ε₁ 단위의 반올림(또는 잘림)되기 전에 r₂ 단위의 반올림(또는 잘림)으로 중간 결과를 계산한 경우 r의_m 혼합정밀 평가를 허용하기 위한 것이다.다른 모든 계산은 단위 반올림 ε으로₁ 수행되는 것으로 가정한다.

참조