초모듈러 함수

수학에서, 함수

$\displaystyle f\colon \mathb {R} ^{k}\to \mathb {R}}$

if는 초모델이다.

${\displaystyle f(x\uparrow y)+f(x\downarrow y)\geq f(x)+f(y)}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\$ $y$$\in \mathb {R} ^{k$ 여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle y}$ ${\$$displaystyle x\uparrow y}$은 $구성{\displaystyle }$ 요소별 최대값을 나타내고$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \downarrow }$ y ${\$$displaystysty$ $x}$ 및$$$}$의 최소 구성$$ 요소별 $y$

만약 -f가 초모델이라면 f는 하위모델이라 불리며, 불평등이 동등하게 바뀌면 기능은 모듈화된다.

f가 연속적으로 2배 차이가 나는 경우, 초변형성은 조건과^[1] 동일하다.

${\displaystyle {\frac {\reason ^{2}f}{\\reason z_{i}\,\reason z_{j}}\geq 0{\mbox{{{}}모든 }에 대해 표시$

경제학과 게임 이론의 초변형성

초변형성의 개념은 한 대리인의 결정이 다른 사람의 동기 부여에 어떻게 영향을 미치는지 분석하기 위해 사회과학에서 사용된다.

두 명 이상의 $플레이어$ i${\displaystyle 1\mathrm{}1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle }$…${\displaystyle N}$ {1, 2, 2, 1, 2, N ${\$ i$\in {$1$,2,\dots,N}$에 대해 정의된$$ 부드러운 지불 함수 ${\displaystyle f}$ ${\$$displaystyle \,f}$을(를) 가진 대칭 게임을 생각해 보십시오$.$ 작업 공간이 연속적이라고 가정하고, 단순성을 위해 각 동작이 ${\displaystyle {선택}_{}}$되었다고 가정하십시오.${\displaystyle z_{i}\in [a,b]}$. In this context, supermodularity of ${\displaystyle \,f}$ implies that an increase in player ${\displaystyle \,i}$'s choice ${\displaystyle \,z_{i}}$ increases the marginal payoff ${\displaystyle df/dz_{j}}$ of action ${\display$$스타일 \,z_{j}$ 다른$$ 모든 ${\displaystyle 플레이어}$ j ${\displaystyle \,j}$즉, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \,i}$가 더 높은 z ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $\,$z_${$$i}}$를 선택하면 다른 모든 ${\displaystyle 플레이어}$도 ${\displaystyle z_{}}$ ${\$를 선택할 수 있는 동기가 부여된다$$. 불로우, 게나카플로스, 클렘페러(1985년) 등의 용어를 따라 경제학자들은 이 상황을 전략적 보완성이라고 부르는데, 이는 참가자들의 전략이 서로 보완되기 때문이다.^[2] 이것은 조정 게임에서 다중 평형성의 예에 기초하는 기본적인 속성이다.^[3]

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,f}$의 하위모형과는 반대되는 경우는 전략적 대체성의 상황에 해당한다$$. ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 증가는 다른 플레이어의 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 선택 ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\$에 대한 한계 보상이 낮아지므로$$ 전략이 대체된다$.$ 즉, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \,i}$이(가) 더 높은 ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ ${\$을$($를) 선택하면$$ 다른 플레이어가 더 낮은 ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 선택할 수 있는 동기가 부여된다$.$

예를 들어, Bulow 등은 불완전하게 경쟁하는 많은 기업들의 상호작용을 고려한다. 한 회사에 의한 생산량 증대가 다른 회사의 한계 수익을 증가시킬 때, 생산 결정은 전략적 보완이다. 한 기업의 생산량 증대가 다른 기업의 한계 수익을 낮출 때, 생산 결정은 전략적인 대체품이다.

초변형 효용 함수는 종종 보완재와 관련이 있다. 그러나 이 견해는 논란의 여지가 있다.^[4]

하위 집합의 하위 집합 함수

초모형성과 하위모형성은 또한 더 큰 집합의 하위 집합에 걸쳐 정의되는 기능에 대해 정의된다. 직관적으로 하위 집합에 대한 하위 집합 함수는 "반환 감소"를 나타낸다. 하위 모듈 함수를 최적화하기 위한 전문 기법이 있다.

S를 유한 집합으로 하자. A function ${\displaystyle f\colon 2^{S}\to \mathbb {R} }$ is submodular if for any ${\displaystyle A\subset B\subset S}$ and ${\displaystyle x\in S\setminus B}$, ${\displaystyle f(A\cup \{x\})-f(A)\geq f(B\cup \{x\})-f(B)}$. For s무변형성, 불평등이 역전된다.

하위 계통의 정의는 다음과 같이 동등하게 공식화될 수 있다.

${\displaystyle f(A)+f(B)\geq f(A\cap B)+f(A\cup B)}$

S의 모든 하위 집합 A와 B에 대하여.

서브모듈라(초모듈라) 함수의 로컬 및 글로벌 맥시마(minima)를 찾기 위한 이론 및 열거 알고리즘은 B에서 찾을 수 있다. 골덴고린. 유럽 학술지 운영연구 198(1):102-112, DOI: 10.1016/j.ejor.2008.08

참고 항목

• 의사 부울 함수
• 탑키스의 정리
• 서브모듈러 세트 함수
• 초첨가성
• 분리할 수 없는 상품에 대한 효용 기능

참고 및 참조