폴리야 우른 모델
Pólya urn model통계에서 Polya urn 모델(Polya urn scheme 또는 간단히 Polya's urn scheme이라고도 함)은 많은 치료법을 통일하면서 이상적인 정신 운동 틀로 사용되는 통계 모델의 일종이다.
항아리 모델에서 실제 관심 대상(원자, 사람, 자동차 등)은 항아리나 다른 용기에 있는 유색 공으로 표현된다.기본 Polya urn 모델에서, 항아리는 x개의 흰색과 y 검정색 공을 포함하고 있다; 항아리에서 1개의 공이 무작위로 그려지고 그 색이 관찰된다; 항아리에 반환되고, 항아리에 같은 색상의 공이 추가되어 선택과정이 반복된다.관심의 문제는 단지의 개체수와 공의 색깔 순서다.
이것은 때때로 부자들이 부유해짐에 따라 표현되는 자기 보강적 성질을 가진 항아리를 내포하고 있다.
어떤 의미에서 Polya urn 모델은 교체하지 않은 샘플링 모델의 "반대"로서, 특정 값이 관측될 때마다 다시 관측될 가능성이 낮은 반면, Polya urn 모델에서는 관측된 값이 다시 관측될 가능성이 더 높다.이 두 모델 모두에서 측정 행위는 미래 측정 결과에 영향을 미친다.(비교에서 대체 샘플링 시 특정 값을 관측하는 것은 해당 값을 다시 관측할 가능성이 얼마나 되는가에 영향을 미치지 않는다.)Polya urn 모델에서, 시간 경과에 따른 연속적인 측정 행위는 미래 측정에 점점 더 적은 영향을 미치는 반면, 교체하지 않은 샘플링에서는 정반대다: 특정 값을 일정 횟수의 측정 후 그 값은 다시는 나타나지 않는다.
다소 정교한 이 urn 모델(즉, 각 공의 중복 및 교체 포함)에 관심을 갖는 이유 중 하나는 urn에 있는 공의 개수(초기 x 검정 및 y 흰색)가 숨겨지지 않는 예를 제공하므로 주관적 확률의 정확한 업데이트를 대략적으로 파악할 수 있다.e 대체와 함께 일반적인 샘플링을 수행하는 동안 원래의 항아리 함량이 은폐되는 다른 경우(Polya ball-duplication 제외)이 두 번째 사례에서 단순한 "대체로 샘플링" 체계 때문에, 항아리 내용은 현재 정적이지만, 이 더 큰 단순성은 항아리 내용이 현재 관찰자에게 알려지지 않았다는 가정에 의해 보상된다.항아리의 초기 내용에 대한 관찰자의 불확실성에 대한 베이지안 분석은 (콘주게이트) 사전 분포의 특정한 선택을 이용하여 이루어질 수 있다.특히, 관찰자가 항아리가 각각 검은색과 흰색 중 어느 쪽이든 동일한 공만을 포함하고 있다는 것을 알고 있지만, 그는 존재하는 공의 절대적 수나 각 색의 비율을 알지 못한다고 가정하자.그가 이러한 미지의 것에 대한 사전 신념을 가지고 있다고 가정하자: 그에 대해, 항아리 함량의 확률 분포는 항아리 전체 공의 수에 대한 일부 사전 분포에 의해 충분히 근사치가 되며, 이 비율의 초기 비율에 대한 매개변수(x,y)를 갖는 베타 사전 분포는 흑색이며, (그의 경우) 이 비율을 고려한다.총수와 거의 독립적이다.그러면 항아리에서 추첨을 연속적으로 진행하는 과정(교체하되 중복되지 않음)은 실제 항아리의 내용이 그에게 가려지지 않았던 위의 Polya 계획과 거의 동일한 확률 법칙을 갖는다.여기서의 근사 오차는 알려진 유한 수 m의 공들을 포함하는 항아리가 정확히 베타분산되지 않은 비율의 블랙볼을 가질 수 없다는 사실과 관련된다. 그 비율에 대해 가능한 값의 영역은 완전한 자유가 아닌 1/ 1/배수로 제한되기 때문이다정확히 베타 분산 비율과 마찬가지로 연속 단위 간격의 값을 가정하는 에돔.이 약간 비공식적인 설명은 동기 부여의 이유로 제공되며, 수학적으로 더 정밀하게 만들 수 있다.
이 기본적인 Polya urn 모델은 여러 가지 면에서 풍부하고 일반화되었다.
- 베타 이항 분포:Polya un에서 개의 무승부(trials)가 주어지는 것과 같은 성공적인 무승부(트리얼)의 분포.
- 디리클레-다항 분포(다변수 포리아 분포라고도 함):각 색상의 볼 수에 대한 분포( n는 Polya un에서 추첨한다. 여기서 단 두 색 대신 개의 다른 색상이 있다.
- 마팅게일, 베타 이항 분포 및 베타 분포:w와 b를 처음에 항아리에 있는 흰색과 검은색 공의 수로 하고, + n n 추첨 후 항아리에 현재 들어 있는 흰색 공의 개수로 한다. 다음=,,,… 에 값의 순서는 이항 분포의 정규화된 버전이다마팅게일이며, n → ∞이 되면 베타 분포로 수렴한다.
- 디리클레트 과정, 중식당 과정, 호페 urn: 다음과 같이 수정된 Polya urn 계획을 상상해 보라.우리는 {\개의 검은 공을 가진 항아리로 시작한다.항아리에서 공을 그릴 때, 우리가 검은 공을 그릴 때, 이용할 수 있는 색깔의 무한대에 걸쳐 균일한 분포에서 무작위로 생성된 새로운 비흑색 색상의 새로운 공과 함께 공을 뒤로 돌려놓고, 새로 생성된 색상을 추첨의 "값"으로 간주한다.그렇지 않으면, 표준적인 Polya urn scheme과 같은 색상의 다른 공과 함께 공을 다시 넣는다.이 변형된 Polya urn 계획으로부터 무한히 이어지는 추첨의 색상은 중국 식당 과정을 따른다.만약 새로운 색을 생성하는 대신에, 우리는 주어진 베이스 분포로부터 무작위 값을 그리고 그 값을 사용하여 공에 라벨을 붙이면, 무한히 이어지는 그리기 순서의 라벨은 디리클레 과정을 따른다.[1]
- 모란 모형:이론적 집단 유전학에서 유전적 표류를 모형화하는 데 사용되는 항아리 모델.이는 같은 색상의 새 공을 추가하는 것 외에 임의로 그린 공이 항아리에서 제거된다는 점을 제외하면 폴리야 항아리 모델과 매우 유사하다.따라서 항아리에 있는 공의 수는 일정하게 유지된다.그 후 샘플링을 계속하면 결국 한 가지 색상의 모든 볼이 있는 항아리로 연결되며, 각 색상이 원래 항아리에 있는 해당 색상의 비율이 될 확률도 있다.항아리에서 제거한 공은 원래 그 단계에서 샘플링한 공과 다른 공이라고 주장하는 모란 모델과 새로운 공을 항아리에 넣은 직후 공의 제거를 행하는 변형도 있어, 새 공은 제거 가능한 공 중 하나라고 할 수 있다.이것은 모든 공이 같은 색깔인 상태에 도달하는 데 걸리는 시간의 작은 차이를 만든다.모란 공정은 세대가 겹치는 개체군에서 유전적 표류를 모형화한다.
추첨 후 항아리에 현재 들어 있는 흰색 공의 개수로 한다.
참고 항목
참조
- ^ Hoppe, Fred (1984). "Pólya-like urns and the Ewens' sampling formula". Journal of Mathematical Biology. 20: 91. doi:10.1007/BF00275863. hdl:2027.42/46944.
추가 읽기
- F. 알라자지와 T.Fuja, "전파를 모델로 한 통신 채널," IEEE 정보 이론에 관한 거래, Vol. 40, 페이지 2035–2041, 1994년 11월.
- A. 배너지, P. 벌리나, F.Alajaji, "Polya Urn 모델을 사용한 이미지 세분화 및 라벨링," IEEE 이미지 처리 관련 거래, Vol. 8, 9, 페이지 1243–1253, 1999년 9월.
