홀름-본페로니법

통계학에서는 Holm-Bonferroni 방법(^[1]Holm method) 또는 Bonferroni-라고도 한다.Holm method는 다중 비교의 문제에 대처하기 위해 사용된다.가족 단위 오류율을 제어하기 위한 것으로 본페로니 보정보다 한결같이 강력한 간단한 테스트를 제공한다.이 방법을 성문화한 스투레 홀름과 카를로 에밀리오 본페로니의 이름을 따서 지은 것이다.

동기

여러 가지 가설을 고려할 때 다중성의 문제가 발생한다: 가설을 더 많이 확인할수록 제1종 오류(허위 양성)를 얻을 확률이 높아진다.Holm-Bonferroni 방법은 각 개별 가설에 대한 거부 기준을 조정하여 가족 단위 오류율(하나 이상의 Type I 오류가 발생할 가능성)을 제어하기 위한 여러 가지 접근법 중 하나이다.^{[citation needed]}

공식화

방법은 다음과 같다.

• Suppose you have ${\displaystyle m}$ p-values, sorted into order lowest-to-highest ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$, and their corresponding hypotheses ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$. You want the familywise error rate to be no higher than a certain prespecified significance 레벨 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\}.$
• < / m ${\displaystyle P_{1}<\alpha /m}$? 그렇다면 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}을$($를) 제거하고 다음$$ 단계로 계속 진행하십시오. 그렇지 않으면 EXIT
• < /( - 1) ${\displaystyle P_{2}<\alpha /(m-1$ 그렇다면 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$도 기각하고, 그렇지 않으면 다음 단계로 계속 진행하십시오.IT
• 등등: 각 P 에 대해 k< + 1- ${\$}{$m+$1-k ${\displaystyle {그렇다면}_{}}$H k {\$displaystyle$ H_${$$}}}}$를 기각하고 더 큰 P 값을 계속 검사하고, 그렇지 않으면 EXIT

이 방법은 가족 단위 오류율${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \leq \alpha }$을(를) 보장한다$.$

이론적 근거

단순 Bonferroni 수정은 하나 이상의 참된 귀무 가설(즉, 하나 이상의 유형 I 오류를 범함)을 기각할 위험이 최대 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\frac {\alpha$ $}}}$임을 보장하기 위해$$p-값이 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha m}}{}}$ ${\$displaystyle $\alpha$ $}}}$보다 작은 귀무 가설만 기각한다$.$pe I 오류는 하나 이상의 잘못된 귀무 가설(즉, 하나 이상의 유형 II 오류를 범하는 것)을 거부하지 못할 위험이 증가하는 것이다.

또한 Holm-Bonferroni 방법은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\}$에서 최대 가족 단위 오류율을 제어하지만, 고전적인 Bonferroni 방법보다 타입 II 오류 위험이 더 낮다.The Holm–Bonferroni method sorts the p-values from lowest to highest and compares them to nominal alpha levels of ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$ to ${\displaystyle \alpha }$ (respectively), namely the values ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}$$}},\ldots,{\frac {\frac }{2}},{\frac {\frac }{1}}$.

• 색인 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 거부를 검증하기에 충분히 낮지 않은 첫 번째 p-값을 식별한다$$.$따라서$ 귀무 가설 $H{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle H_{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- 1$){\$ ${(k-1)}$은 기각되지$$$$ 않고 귀무 $가설$ $H{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle {}_{}}$. . . .${\displaystyle {}_{}}$. . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$인 경우 기각할 수 있을 만큼 p-값이 낮지 않았으므로 귀무 가설은 기각되지 않는다.
• 이러한 인덱스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) 찾을 수 없는$$ 경우 모든 p-값이 기각될 수 있을 만큼 낮았기 때문에 모든 귀무 가설은 기각된다(아무도 수락되지 않음).

증명

Holm-Bonferroni는 다음과 같이 FWER를 제어한다.Let ${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$ be a family of hypotheses, and ${\displaystyle P_{(1)}\leq P_{(2)}\leq \cdots \leq P_{(m)}}$ be the sorted p-values.$Let{\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(알 수 없는) 참 귀무 가설에 해당하는 지수 집합이며$$, ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 멤버가$$ 있다.

우리가 참된 가설을 잘못 기각했다고 가정해 보자.우리는 이 사건의 확률이 최대 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$임을 증명해야 $한다{\displaystyle }$$.$ h$${\$displaystyle h}$은(먼저 본페로니-가 제공한 순서에서) 거부된 첫 번째 참 가설이다.Holm test).Then ${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(h-1)}}$are all rejected false hypotheses and ${\displaystyle h-1\leq m-m_{0}}$. From there, we get ${\displaystyle {\frac {1}{m-h+1}}\leq {\frac {1}{m_{0}}}}$ (1).$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 거부되었기 때문에 테스트의 정의에$$ $따라{\displaystyle {}_{}}$ P${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle h_{}}$ )${\displaystyle {}_{}\frac{\alpha m}{}}$-${\displaystyle \frac{h}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}${\$displaystyle P_{(h)}\leq${\$frac {\lapa }{m-h+1}}}}$이(가) 있다.(1)을 사용하여 우측은 최대 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$따라서 실제 가설을 잘못 기각하면 최대 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$frac{\$alpha }{m_{0}}}}$에서 P-값을 갖는 참 가설이 있어야 한다$.$

$따라서$ ${\displaystyle 임의}$ $변수{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= I ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 0_{}}$에 대한 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \text{변수}\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle }${ P ${\displaystyle i{}_{}\alpha m\frac{}{}}$ 0을 $정의해 봅시다.$$P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}{\text{ for }}i\in I_{0}\right\}}$. Whatever the (unknown) set of true hypotheses ${\displaystyle I_{0}}$ is, we have ${\displaystyle \Pr(A)\leq \alpha }$ (by the Bonferroni inequalities).따라서 참 가설을 기각할 확률은 최대 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이다$.$

대체증거

Holm-Bonferroni 방법은 폐쇄 시험 절차로 볼 수 있으며,^[2] Bonferroni 방법은 귀무 가설의 각 교차점에 국소적으로 적용된다.이와 같이 강한 의미에서의 수준 α에서 모든 k 가설의 가족별 오류율을 제어한다.각 교차로들은 간단한 Bonferroni 테스트를 사용하여 시험한다.

시험할 귀무 가설의 모든 교차로 $수$는 순서 $2m${\$displaystyle m$$}$ 이하인$$ 반면, $실질적$으로 m$${\displaystyle m} 이하인 비교의 수는 $m{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$displaystyle 2$^{m}$이므로 바로 가기 절차다$.$

폐쇄 원리는 가설 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle H_{}}$ m ${\$의 가설$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 기각되는$$ 동시에 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$와의 교차로에 있는 모든 하위 패밀리의 $경우{\displaystyle }$ 가족별 오류율 ${\displaystyle \alpha }$을 제어하는 것을 명시한다.$$${\displaystyle H_{i}$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 가족별 오류율 수준에서 제어된다$.$

Holm-Bonferroni 절차에서는 $먼저{\displaystyle {}_{}}$ H$){\$를 시험한다$.$ 기각되지 않으면 모든 귀무 가설의 교차점 $\bigcap {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ H ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle {H\_\mathrm{}}_{}}$${i}}$ 역시 거부되지 않으므로$$, 거부되지 않는 각 기본$$ 가설 H $1{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}{m}_{}}$ ${\$에 대해 최소한 하나의 교차로 가설이 존재하므로, 우리는 어떤 기본 가설도 거부하지 않는다.

$){\$1)가 레벨 $\alpha {\displaystyle /m}$ ${\displaystyle \alpha/m}$에서 거부되면$$ 이를 포함하는 모든 교차로 하위 패밀리도 거부되므로 $H{\displaystyle {}_{(1}}$) ${\${(1$)는$거부된다$$.왜냐하면 $P{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle 1_{}}$ $){\${(1$)}는$교차로 하위 패밀리의 각 패밀리에서 가장 작고 하위$$ 패밀리의 크기가 $가장{\displaystyle }$ m ${\displaystyle$ m$\}$이기 때문에 Bonferroni 임계값이 $\alpha {\displaystyle /m}$ ${\displaystyle \alpha /m}$보다 커지기 때문이다$.$

The same rationale applies for ${\displaystyle H_{(2)}}$. However, since ${\displaystyle H_{(1)}}$ already rejected, it sufficient to reject all the intersection sub-families of ${\displaystyle H_{(2)}}$ without ${\displaystyle H_{(1)}}$. Once ${\displaystyle P_{(2)}\le \alpha /(m-1)}$${\displaystyle P_{(2)}\leq \alpha /(m-1)}$은(는) $H{\displaystyle {}_{}}$( $){\$)2$}}$개가 포함된 모든 교차를 거부한다$$.

각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ m ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq m}$에도 동일하게 적용된다$.$

예

Consider four null hypotheses ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{4}}$ with unadjusted p-values ${\displaystyle p_{1}=0.01}$, ${\displaystyle p_{2}=0.04}$, ${\displaystyle p_{3}=0.03}$ and ${\displaystyle p_{4}=0.005}$, to be tested at significance level ${\displaystyle \alpha =0.05}$. Since the procedure is step-down, we first test ${\displaystyle H_{4}=H_{(1)}}$, which has the smallest p-value ${\displaystyle p_{4}=p_{(1)}=0.005}$.p-값은 $\alpha {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$=${\displaystyle 0.0125}$ ${\displaystyle \alpha /4=0.0125}$과 비교되며$,$ 귀무 가설은 기각되고 우리는 다음 가설로 이어진다. = (2)= 0< 0=/ ${\displaystyle p_{1}=p_{1$}={{2$)=$${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$.01$<0.0167=\alpha /3}$ $H{\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$(${\displaystyle 2_{}}$ $){\$도 거부하고 계속한다.이후 p3)p(3)=0.03>다음 가설 H3{\displaystyle H_{3}};0.025)α/2{\displaystyle p_{3}=p_{(3)}=0.03>, 0.025=\alpha /2}. 우리는 H1{\displaystyle H_{1}}과 H4{\displaystyle H_{4}}과 H2{\displayst 거부되고 있다는 결론을 내리시험 중단한 거부 반응을 일으키지 않다.Hyle반면 수준에서 α=0.05{\displaystyle \alpha =0.05}은family-wise 오류률 관리 _{2}}과 H3{\displaystyle H_{3}}. 비록 p2)p(4)=0.04개체, 0.05)α{\displaystyle p_{2}=p_{(4)}=0.04&lt습니다;0.05=\alpha}, H2{\displaystyle H_{2}}적용된다reje지 않다 거부하지 않고 있다.cted.이는 불합격 사유가 발생하면 시험 절차가 중단되기 때문이다.

확장

홀름-시다크법

가설검사가 부정적으로 종속되지 않은 경우, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha m}}{},}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha m}}{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle \alpha 1\frac{}{}}$ ${\$ 스타일 {\$frac {\alpha }{m},{\frac {\alpha },{m-1},\ldots,{\frac${\$alpha$ }}, }, }, }, $α1}}$을(으)로$$ 대체할 수 있다.

${\displaystyle 1-(1-\cHB )^{1/m,1-(1-\cHB )^{1/(m-1)},\ldots,1-(1-\cHB )^{1}:{1}$

그 결과 약간 더 강력한 테스트를 하게 되었다.

가중판

$P{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle P_{}}$ ( m${\displaystyle {}_{}}$) ${\$을 순서에 따라 조정되지 않은 p-값으로 한다$$.$H{\displaystyle {}_{}}$($){\$ $0{\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$w ($)$ {\$displaystyle$ 0$\leq w_{(i)}}}}$에 해당하는$$ $P{\displaystyle {}_{}}$($){\$ $P_$${($$i$$)\}\}.$ $거부$ H $){\displaysty}.$

${\displaystyle P_{(j)}\leq {w_{(j)}{\sum_{k=j}^{m_{(k)}}}\알파,\quad j=1,\ldots,i}$

수정된 p-값

Holm-Bonferroni 방법에 대한 수정된 p-값은 다음과 같다.

${\displaystyle {p}_{p}}{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{(m-j+1)p_{(j)}\right\}}{1},{\text{{}, 여기서 }\{x\}_}}}\equiv \min(x,1).}$

In the earlier example, the adjusted p-values are ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{1}=0.03}$, ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{2}=0.06}$, ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{3}=0.06}$ and ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{4}=0.02}$. ONly 가설 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 레벨 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle 0.05}$ ${\displaystyle \alpha = 0.05}$에서 기각된다$.$

Similar adjusted p-values for Holm-Šidák method can be defined recursively as ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max \left\{{\widetilde {p}}_{(i-1)},1-(1-p_{(i)})^{m-i+1}\right\}}$, where ${\displaystyle {\tilde{p}}_{(1)}=1-(1-p_{(1)}{)}^m}$${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(1)}=1-(1-p_{(1)})^{m}}$. Due to the inequality ${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/n}<\alpha /n}$ for ${\displaystyle n\geq 2}$, the Holm-Šidák method will be more powerful than Holm-Bonferroni method.

가중 조정된 p-값은 다음과 같다.^{[citation needed]}

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{{\frac {\sum _{k=j}^{m}{w_{(k)}}}{w_{(j)}}}p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

가설이 수정된 p-값이 α보다 작을 경우에만 수준 α에서 기각된다.동일한 가중치를 사용하는 앞의 예제에서 수정된 p-값은 0.03, 0.06, 0.06, 0.02이다.이것은 α = 0.05를 사용하는 또 다른 방법으로 이 절차에 의해 가설 1과 4만 기각된다.

대안 및 사용법

Holm-Bonferroni 방법은 고전적인 Bonferroni 교정법보다 "균일하게" 더 강력하며, 적어도 항상 그만큼 강력하다는 것을 의미한다.

Holm-Bonferroni보다 더 강력한 가족 단위 오류율을 제어하는 다른 방법이 있다.For instance, in the Hochberg procedure, rejection of ${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(k)}}$ is made after finding the maximal index ${\displaystyle k}$ such that ${\displaystyle P_{(k)}\leq {\frac {\alpha }{m+1-k}}}$. Thus, The Hochberg procedure is uniformly more poweHolm 절차보다 더 효과적이야.그러나 호흐베르크 절차는 가설들이 독립적이거나 특정 형태의 양의존 아래에 있어야 하는 반면, 홀름-본페로니는 그러한 가정 없이 적용될 수 있다.비슷한 단계적 절차로는 호흐베르크 절차보다 한결같이 강력한 호멜 절차가 있다.^[3]

이름 지정

카를로 에밀리오 본페로니는 여기서 설명하는 방법을 발명하는 데 참여하지 않았다.홀름(Holm)은 원래 이 방법을 '순차 거부 본페로니 시험(sequently rejective Bonferroni test)'이라고 불렀고, 얼마 후에야 홀름-본페로니로니(Holm-Bonferroni)로 알려지게 되었다.본페로니에 이어 자신의 방법을 명명하게 된 홀름의 동기는 원문에서 "다중추론 안에서 부울 불평등을 사용하는 것을 보통 본페로니 기법이라고 하는데, 이러한 이유로 우리는 순차적으로 거부반응을 보이는 본페로니 기법이라고 부르겠다"고 설명하고 있다.

참조