힐버트-버네이즈 검증 조건

수학 논리학에서 힐버트-베르나이스 검증 조건(Hilbert-Bernays Provability 조건)은 데이비드 힐버트와 폴 버나이스의 이름을 딴 것으로서 산술의 형식화된 검증 술어에 대한 일련의 요건이다(Smith 2007:224).

이러한 조건들은 쿠르트 괴델의 두 번째 불완전성 정리의 많은 증거에 사용된다.그들은 또한 Provability 논리의 공리와 밀접한 관련이 있다.

조건

T는 하나의 자유수 변수를 갖는 T의 공식으로 표현되는 공식화된 검증 조건인 Prov(n)를 가진 형식적인 산술 이론이 되도록 하자.이론의 각 공식 φ에 대해 #(φ)를 괴델 φ의 숫자가 되게 한다.Hilbert-Bernays 검증 조건은 다음과 같다.

1. T가 문장 φ을 증명하면 T는 Prov(#)를 증명한다.
2. 문장 φ마다 T는 Prov(#(#) → Prov(#(φ))를 증명한다.
3. T는 프로브(#(# → ψ)와 프로브(#)가 프로브(#)를 암시한다는 것을 증명한다.

Prov는 숫자의 술어이며, Prov(#)의 의도된 해석은 φ의 증명에 대해 암호화하는 숫자가 존재한다는 점에서 검증의 술어라는 점에 유의한다.공식적으로 프로브에 요구되는 것은 위의 세 가지 조건이다.

괴델의 불완전성 정리를 증명하는 데 사용

힐버트-베르네이즈의 검증 조건은 대각선 보조정리법과 결합되어 괴델의 불완전성 정리를 곧 증명할 수 있다.실제로 고델의 증명들의 주된 노력은 이러한 조건들(또는 동등한 조건들)과 대각선 보조정리기가 피아노 산술학을 지탱하고 있다는 것을 보여주는 데 있었다. 일단 이것이 확립되면 그 증거는 쉽게 공식화될 수 있다.

대각선 보조정리기를 사용하면 T ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ↔$$↔ ↔ ${\displaystyle \mathrm{\leftrightarrow }}$ ${\displaystyle r}$ P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o\mathrm{}v}$( #$){\displaystyle$T\$vdash \rho \reftrightarrow \neg$ Prov$(\#(\rho )}}$라는 수식이 있다$.$

고델의 첫 불완전성 정리 증명

첫 번째 정리를 위해서는 첫 번째와 세 번째 조건만 있으면 된다.

T가 Ω 정합성이라는 조건은 모든 공식 φ에 대해 T가 Prov(#( proves)를 증명하면 T가 φ을 증명한다는 조건으로 일반화된다.프로브(#(φ))는 φ의 증명에 대한 숫자 코딩이 있다는 것을 의미하기 때문에 이것이 Ω 정합성 T를 실제로 유지할 수 있으며, T가 Ω 정합성이면 모든 자연수 a를 실제로 찾을 수 있고, 그 다음에 a를 사용하여 T에서 proof의 실제 증빙을 구성할 수 있다는 점에 유의한다.

$T$가 proven ${\displaystyle$ \$rho$ }을$($를) 증명할 수 있었다고 가정해 보십시오$.$ 그러면 T에서 다음과 같은 이론이 있을 겁니다.

1. $T\Vdash \rho }$
2. ${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle T\Vdash \neg Prov(\#(\rho$ $)})}([[\displaystyle$ \$rho }$ 및 정리$$ 1)을 구성함)$$
3. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$) )${\displaystyle T\Vdash Prov(\#(\rho ))}($조건 번호 1과 정리 1)

Thus T proves both ${\displaystyle Prov(\#(\rho ))}$ and ${\displaystyle \neg Prov(\#(\rho ))}$. But if T is consistent, this is impossible, and we are forced to conclude that T does not prove ${\displaystyle \rho }$.

이제 T가 ${\displaystyle \mathrm{입증}}$된 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg \rho }$을(를) 가질 수 있다고 가정해 봅시다$.$ 그러면 T에 다음과 같은 이론이 있을 것이다.

1. $\displaystyle T\vdash \neg \rho }$
2. ${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\Vdash Prov(\#(\rho$ $)}([\$displaystyle \rho } 및 정리$$ 1)}
3. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T\vdash \rho }($Ω-consistency)

따라서 T는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$과 ¬$\$ {\$displaystyle \neg \rho }$을(를) 모두 증명한다$.$ 그러나 T가 일관성이 있다면 이것은 불가능하며, 우리는 T가${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{prove}}$ ${\displaysty \negrho }$을 증명하지 못한다는 결론을 내릴 수밖에 없다$.$

결론적으로 T는 $\rho$ ${\displaystyle \rho }$도, $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg \rho$}도 증명할 수 없다$.$

로서의 속임수 사용

로서의 계략을 이용해서 T가 Ω과 일치한다고 가정할 필요는 없다.그러나, 첫 번째와 세 번째 검증 조건은 로서의 검증 조건인 프로브에게^R 있어 순진한 검증 조건인 프로브라는 순진한 검증 조건보다는 로서의 검증 조건인 프로브에게 적용된다.이는 모든 공식 φ에 대해 Prov(#)가 Prov가^R 보유하는 경우에만 보유한다는 사실에서 비롯된다.

사용된 추가 조건은 T가 Prov^R(#)가 ¬Prov^R(#)를 내포하고 있음을 증명하는 것이다.이 조건은 논리학 및 매우 기본적인 산술학을 포함하는 모든 T를 지탱한다(로서의 속임수에 자세히 설명되어 있음).로서 문장).

로서의 계략을 이용하여 ρ은 순진한 증명성 술어 대신 로서의 증명성 술어를 사용하여 정의된다.검증 술어가 로서의 검증 술어로 대체되는 것을 제외하고는 증명의 첫 부분은 변하지 않고 있다.

증명서의 두 번째 부분은 더 이상 Ω-consistency를 사용하지 않으며, 다음과 같이 변경된다.

${\displaystyle T}$가 입증된 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg \rho$}을(를) 사용할 수 있었다고 가정해 보십시오$.$ 그러면 T:

1. $\displaystyle T\vdash \neg \rho }$
2. ${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊩}$ P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\vdash Prov^{R}(\#(\rho$ $)})}([[\$displaystyle \rho }] 및 정리$$ 1))}
3. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \rho }$) )$displaystyle T\vdash \neg Prov^{R}(\#(\neg \rho )})($정리 2와 로서의 검증 조건 정의에 따른 추가 조건)
4. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o^{}}$ v R${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\vdash Prov^{R}(\#(\neg \rho )}($조건 번호 1 및 정리 1)}

Thus T proves both ${\displaystyle Prov^{R}(\#(\neg \rho ))}$ and ${\displaystyle \neg Prov^{R}(\#(\neg \rho ))}$. But if T is consistent, this is impossible, and we are forced to conclude that T does not prove ${\displaystyle \neg \rho }$.

두 번째 정리

우리는 T가 그 자체의 일관성을 증명한다고 가정한다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$ r ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\Vdash \neg Prov(\#(1=0$ .

모든 공식 φ에 대해:

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$→ → (${\displaystyle \phi }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$= 0${\displaystyle ))}$ ${\displaystyle T\vdash \neg \varphi \rightarrow (1=0)}}($부정 제거)

후자의 정리에서는 조건 번호 1을 사용하고, 그 다음에 조건 번호 3을 반복해서 사용하면 다음과 같은 것을 나타낼 수 있다.

${\displaystyle T\vdash Prov(\#(\neg \varphi ))\오른쪽 화살표(Prov(\#(\varphi ))\오른쪽 화살표 Prov(\#(1=0))}}$

그리고 그 자체의 일관성을 증명하는 T를 사용하는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle T\vdash Prov(\#(\neg \varphi ))\오른쪽 화살표 \neg Prov(\#(\varphi )}$

이제 T가 일관성이 없다는 것을 보여주기 위해 이것을 사용한다.

1. ${\displaystyle T\Vdash Prov(\#(\neg Prov(\#(\rho )))\rightarrow \neg Prov(\#(Prov(\#(\rho )))}$ (following T proving its own consistency, with ${\displaystyle \varphi =Prov(\#(\rho ))}$)
2. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$$$${\displaystyle \rho }$ →${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$ r ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\vdash \rho \rightarrow \neg Prov(\#(\rho )}}([\$$displaysty \rho$
3. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ r ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ r ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle )}$ ) ) )) ${\displaystyle T\Vdash Prov (\#(\rho \rightarrow \neg Prov(\#(\rho ))}}($조건 번호 및 정리 2)
4. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$ r ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }$) )${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \mathrm{}}$) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$( # )$$) $displaystyle T\Vdash Prov(\#(\rho )}\rightarrow Prov(\# (\rho )})}}$ (조건 3번))
5. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# ( (${\displaystyle )))\mathrm{}}$→ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ro\mathrm{}v}$ (${\displaystyle }$# (${\displaystyle )}$ ) ) ${\displaystyle T\vdash Prov(\#(\rho )\rightar \negrow Prov(\#(\rho )}}}}$ ($구제1$과 4))})}$$
6. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$#${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle ))}$ → ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$v${\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$# (${\displaystyle )}$ ) ) ${\displaystyle T\Vdash Prov(\#(\rho )\rightarrow Prov(\#(\rho )}}$ $$($조건$ 번호 2)
7. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle T\Vdash \neg Prov(\#(\rho )}($논리 5와 6))
8. ${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T\vdash \neg Prov(\#(\rho )\rightarrow \rho }}}$ $(\$ {\$displaysty$ \$rho$ )
9. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T\vdash \rho }($구성 7과 8)
10. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ⊩}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle }$( ${\displaystyle )}$) )$${\$displaystyle T\Vdash Prov(\#(\rho$))}($$조건 1 및 정리 9)

따라서 T는 P ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$# (${\displaystyle \rho }$ )${\displaystyle Prov(\#(\rho )}$과 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}}$#${\displaystyle \{}$) {\$displaystyle \neg$ Prov$(\#(\rho$ $)\},$ 따라서 T는 일관성이 없음을 증명한다.

참조

• 스미스, 피터(2007)괴델의 불완전성 이론에 대한 소개.케임브리지 대학 출판부. ISBN978-0-521-67453-9