조화 파장 변환

신호 처리의 수학에서 1993년 데이비드 에드워드 뉴랜드가 도입한 조화 파장 변환은 주어진 함수를 시간 빈도표현으로 하는 파장 기반의 선형 변환이다.단시간 푸리에 변환과 연속파울렛 변환의 장점을 결합한 것이다.반복적인 푸리에 변환의 관점에서 표현할 수 있으며, 그 이산 아날로그는 빠른 푸리에 변환 알고리즘을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다.

조화파

변환은 $w{\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle }$k )${\displaystyle$w ($2^{j}t-k)\}$이(가) 부여한 두 정수 j("수준" 또는 "순서")와 k("번역")에 의해 지수화된 "조화" 파장 패밀리를 사용한다$.$

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

이 기능들은 직교하며, 그들의 푸리에 변환은 사각 윈도우 기능이다(특정 옥타브 밴드에 고정되고 다른 곳에는 0이 된다).특히 다음과 같은 사항을 만족한다.

${\displaystyle \int_{-\infit _{-}^{**(2^{j}t-k')\\,dt={\frac {1}{2^{j'}}}\cdot w(2^{{j}-k')\,dt={{{1}{j'}\cd_{k,k,k}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \int _{-\infit _{-}^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt=0}$

여기서 "*"는 복잡한 결합을 나타내며 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) Kronecker의 델타다.

순서 j가 증가함에 따라 이들 웨이블렛은 푸리에 공간(주파수)과 고주파 대역에서 더 국부화되며, 반대로 시간(t)에서는 국부화가 덜 된다.따라서 임의 함수를 확장하기 위한 기초로 사용되는 경우, 다른 시간 계산(그리고 다른 k에 대한 다른 시간 오프셋)에서 함수의 동작을 나타낸다.

단, 모든 마이너스 순서(j < 0)를 combine${\displaystyle (t}$- k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi(t-k)}$의 단일 계열의 "스케일링" 함수로서 조합할 수 있다.

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}.}$

φ 함수는 k가 다르면 그 자체와 직교하며, 또한 비 음의 j에 대해서도 웨이블렛 함수와 직교한다.

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }\varphi ^{*(t-k)\cdot \varphi(t-k')\,dt=\cd \cd_{k,k'}}}}}}$

${\displaystyle \int _{-\infit _{-}^{}{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi(t-k')\,dt=0{\text{{\text{{}, }:}}}$

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }\varphi(t-k)\cdot \varphi(t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\^{j}t-k)\cdot \varphi(t-k')\,dt=0{\text{{{{}}{}}}}$

따라서 고조파 파장 변환에서 임의의 실질 또는 복합 값 함수 $f{\displaystyle (t}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(t)}($L2)는 고조파 파장(모든 정수 j)과 그 복잡한 결합체에 기초하여 확장된다.

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

또는 스케일링 함수로 보완된 비 음의 j에 대한 웨이블렛에 기초하여 다음과 같이 대체한다.

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

그러면 팽창 계수는 원칙적으로 직교 관계를 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{정렬}}}$

For a real-valued function f(t), ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$ and ${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$ so one can cut the number of independent expansion coefficients in half.

이 팽창은 파르세발의 정리와 유사하게 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

${\displaystyle {\classed}&\sum _{j=-\infit }^{}^{{k=-\infit }^{}^{{j,k}}\좌측(a_{{2}+{a}}}}_{j,k}}}}}{2}\우)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left( a_{k} ^{2}+ {\tilde {a}}_{k} ^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left( a_{j,k} ^{2}+ {\tilde {a}}_{j,k} ^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infit }^{\infit }f(x) ^{2}\,dx.\end{정렬}}}$

그러나 직교 관계에서 직접 팽창 계수를 계산하기보다는 푸리에 변환 순서를 사용하여 확장 계수를 계산하는 것이 가능하다.이는 고속 푸리에 변환 알고리즘을 이용할 수 있는 이 변환(분해 t)의 이산 아날로그에서 훨씬 더 효율적이다.

참조

• 데이비드 E.Newland, "Harmonic wavelet 분석", 런던 왕립학회 회보, 시리즈 A (Mathematical and Physical Science), 제443, 제179권, 페이지 203–225 (1993년 10월 8일)
• Wavelets: 옥스퍼드 대학 출판부의 B. W. Silverman과 J. C. Bassilicos에 의한 간헐적인 정보의 열쇠, 2000년.( ISBN0-19-850716-X)
• B. Boashash, 편집자, "시간 빈도 신호 분석 및 처리 – 포괄적인 참조", Exvier Science, 2003.