그로모프 제품

수학에서 그로모프 산물은 수학자 미하일 그로모프의 이름을 딴 미터법 공간 이론의 개념이다.그로모프 제품은 그로모프 의미에서 Δ-하이퍼볼릭 메트릭스 공간을 정의하는 데도 사용할 수 있다.

정의

(X, d) 미터법으로 된 공간이고 x, y, z x X로 한다.그런 다음 x에서 y와 z의 그로모프 제품(y, z)_x을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{1}:{2}}: {\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

동기

Given three points x, y, z in the metric space X, by the triangle inequality there exist non-negative numbers a, b, c such that ${\displaystyle d(x,y)=a+b,\ d(x,z)=a+c,\ d(y,z)=b+c}$.Then the Gromov products are ${\displaystyle (y,z)_{x}=a,\ (x,z)_{y}=b,\ (x,y)_{z}=c}$. In the case that the points x, y, z are the outer nodes of a tripod then these Gromov products are the lengths of the edges.

쌍곡선, 구형 또는 유클리드 평면에서 그로모프 제품(A, B)_C은 C와 지오데틱 삼각형 ABC의 근골이 가장자리 CB 또는 CA에 닿는 지점 사이의 거리 p와 같다.실제로 도표 c = (a – p) + (b – p)에서 p = (a + b – c)/2 = (A,B)_C따라서 모든 미터법 공간에 대해 (A, B)_C의 기하학적 해석은 (A, B, C)을 유클리드 평면에 등축함으로써 얻어진다.^[1]

특성.

• 그로모프 제품은 (y, z) = (z,_x y) 대칭이다._x
• 그로모프 제품은 엔드포인트에서 퇴보한다: (y, z)_y = (y, z) = (y, z)_z = 0.
• p, q, x, y, z 점의 경우

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x}}$

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \},}$

${\displaystyle {\big }(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big }\leq d(p,q),}$

${\displaystyle {\big }(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big }\leq d(y,z).}$

무한대의 점

쌍곡선 공간 Hⁿ. 기준점 p를 고정하고 $∞{\$과 y$∞{\$}}}을 무한대에서 두 개의 구별되는 점이 되도록$$ 한다.그러면 한계.

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{\nft }\op y\to y_{\nft }}}}(x,y)_{p}}}}$

존재하며 유한하므로 일반화된 그로모프 제품으로 간주할 수 있다.그것은 사실 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle(x_{\infit },y_{\infit })_{p}=\log \csc(\theta /2),}$

여기서 ${\displaystyle \theta}$는 측지선 p ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$과 ${\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}${\$displaystyle py_{\infit }}$ 사이의 각도다$.$^[2]

Δ-hyperbolic 공간과 지오디컬의 차이

그로모프 제품은 그로모프의 의미로 Δ-하이퍼볼릭 공간을 정의하는 데 사용될 수 있다.: (X, d) X의 모든 p, x, y, z에 대해 Δ-하이퍼볼릭이라고 한다.

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p}(y,z)_{p}{\big \}-\big.}$

이런 경우에는.그로모프 제품은 지오디컬이 얼마나 오랫동안 가깝게 유지되는지 측정한다.즉, x, y, z가 Δ-hyperbolic 메트릭스 공간의 세 점이라면 x에서 y까지 그리고 x에서 z까지의 지질학적 길이의 초기 세그먼트(y,_x z)는 2 Δ 이상 차이가 나지 않는다(폐쇄 세트 사이의 Hausdorff 거리 의미).

메모들

참조

• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Boundaries of hyperbolic groups". Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001). Contemp. Math. 296. Providence, RI: Amer. Math. Soc. pp. 39–93. MR 1921706.
• Väisälä, Jussi (2005). "Gromov hyperbolic spaces". Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187–231. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010.