회색 대기

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회색 대기(또는 회색)는 별의 대기 내 물질의 $흡수계수\alpha {\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle \alpha$ _${\nu$})가$$ 일정하다는 단순한 개념에 기초한 항성 대기(별의 대기권) 연구에서 복사 전달 응용에 유용한 근사치이다. 즉, 모든 f에 대해 변하지 않는다.별의 입사 방사선의 빈도

어플

회색 대기 근사치는 천문학자들이 대기를 가진 행성, 태양, 다른 별, 가스와 먼지로 이루어진 성간 구름을 포함한 천체들의 온도와 기본적인 복사 특성을 결정하기 위해 사용하는 주요 방법입니다.단순화된 회색 대기 근사 모델은 관측치와 좋은 상관관계를 보여주지만, 실제 대기는 회색이지 않기 때문에, 예를 들어 방사선 흡수는 주파수에 따라 달라지기 때문에 관측 결과에서 벗어난다.

근사치

1차 근사치는 일반적으로 α$$(\$displaystyle \alpha$ _${\nu$로 표현되는 흡수 계수가 작업 중인 주파수 범위에 대한 주파수$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \nu})$에 의존하지 않는다는 가정에 기초하고 있습니다($예{\displaystyle {}_{}}$: α ${\displaystyle {\delta }_{}}$ \$displaystyle \alpha$ _${\nu }\long$ rightarrow $\alpha$

일반적으로 다음과 같은 여러 가지 다른 전제 조건이 동시에 적용됩니다.

1. 대기는 평면 평행한 대기 형상을 가지고 있다.
2. 대기는 열방사 평형 상태에 있다.

이 일련의 가정은 평균 강도와 소스 함수가 그 광학적 깊이의 온도에 대한 흑체 플랑크 함수와 직접적으로 동등하게 된다.

소스 함수를 풀기 위해 에딩턴 근사(다음 섹션 참조)를 선택적으로 사용할 수도 있다.이렇게 하면 결과가 크게 왜곡되지 않고 모델을 크게 단순화할 수 있습니다.

에딩턴 근사법을 사용한 소스 함수 도출

회색 대기 모델에서 다양한 양을 도출하려면 정확한 해법이 복잡한 적분 방정식을 해결해야 합니다.따라서 이 도출은 에딩턴 근사라고 알려진 단순화를 활용합니다.평면평행모델의 적용부터 시작하여 평면평행층끼리 겹쳐진 대기모델을 상상할 수 있습니다.이 모델에서는 평면 내에서 온도 등의 특성이 일정합니다.즉, 이러한 파라미터는 물리적인 $깊이{\displaystyle }$z{$displaystyle$z$\}$의 함수이며, 여기서 $양$의 z${displaystyle$z}의$$ 방향은 대기 상층을 가리킵니다.이를 통해 수직에 대한 $(\displaystyle \theta)$에서의 광선 $경로{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ ds$)$가 다음과 같이 주어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

${\displaystyle ds=secfrac {dz}{cos\theta }}$

이제 광학적 깊이를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle d\displays =-\alpha ds}$

$여기$서$$α {\$displaystyle \alpha }$는 대기의 다양한 성분과 관련된 흡수 계수이다.이제 방사선 전달 방정식을 살펴봅시다

$\ display style \ frac { dI}{ds}=j-\alpha I}$

$여기$서$$I($displaystyle$ I$)$는 총 특정 $강도$이고 j$(displaystyle$ j$)$는 방출 계수입니다.$(displaystyle$ ds$)$를 ${\displaystyle \mathrm{대체}}$하고$$-α$displaystyle -\alpha)$로 나누면 다음과 같이 됩니다.

$display mu {d}I}{d\tau}}=I-S}$

$여기$서 S$${\$displaystyle$S}는$$ 방출과 흡수 계수 사이의 비율로 정의된 이른바 총 소스 함수입니다.이 미분방정식은 양변에${\displaystyle {}^{}}e{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\mu }^{}}$ /$$μ { $displaystyle$ e^ { - \ $tau$ / \ $mu }$를 곱하고, 왼쪽 측면을 ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {\mu }^{}}$ style { $display$ style { $d$} { d \ $tau }}$ 로 고쳐 쓴 후, 방정식 $전체$와 통합함으로써 풀 수 있다.해결책을 제시하다

${\displaystyle I(\tau,\mu)=se^{\frac {\frac}{\mu}}{\infty}}se^{-{\frac {\frac }{\mu }}d\frac }$

여기서는 대기 중 어느 정도 깊이에서 외부로 통합될 때 $한계치{\displaystyle }$ ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle ,}$ 、 $)$、 \$tau$、 \ $in$](\ $displaystyle$ \ mu$\ in$ [$0$ , 1$])$를 사용했습니다.$그래서{\displaystyle }$$$μ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ](\$displaystyle$ \ mu \ $in$ [ 0 , $1$]).$표시 S$와 $같은{\displaystyle }$ 파라미터의 주파수 의존성을 무시한 경우에도 마찬가지입니다$.$따라서 광학적 깊이의 함수를 통합하기 위해서는 소스 함수를 도출하는 방법이 필요합니다.에너지 $밀도{\displaystyle }$U(\$displaystyle$ U$),$ 총 $플럭스{\displaystyle }$F(\$displaystyle$ F$)$ 및$$ 방사선 $압력{\displaystyle }$P(\$displaystyle$ P$)$와 같은 몇 가지 중요한 파라미터를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle U=black {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}Id\mu }$

${\displaystyle F=2\pi \int _{-1}^{+1}I\mu d\mu }$

${\displaystyle P=pi frac {2\pi}{c}}\int _{-1}^{+1}I\mu ^{2}d\mu }$

또한 평균 특정 강도(모든 주파수에서 평균)를 다음과 같이 정의합니다.

${{displaystyle J=sqfrac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}Id\mu }$

방사 전달 방정식을 2로 나누고$$μ(\$displaystyle\mu$ $이상{\displaystyle }$ 적분함으로써

${\displaystyle {1}{4\pi}}{\frac {dF}{d\tau}}=J-S}$

또한 동일한 $방정식$에 $μ2({$displaystyle\frac\$mu}{2})$를 곱하고 w.r.t$.$({$displaystyle\mu$를 적분함으로써 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {dP}{d\tau}}=440frac {F}{c}}$

에너지 밀도의 정의에 평균 특정 강도 J를 대입함으로써, 우리는 또한 다음과 같은 관계를 갖는다.

${\displaystyle J=black {c}{4\pi }}U}$

따라서 전체 플럭스는 대기 중에 일정하게 유지되어야 합니다.

${\displaystyle {dF}{d\tau}}=0\iff J=S}$

이 상태를 방사 평형이라고 합니다.토탈 플럭스의 항상성을 이용하여 ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}${\(\$displaystyle {dP}{d\tau }})$를 $통합$하여 다음과 같이 구현했습니다.

$({displaystyle P=sublicfrac {F}{c}}(\tau +\kappa)})$

$여기$서 ${\$ { $displaystyle \kappa$}는$$ 적분 상수입니다.우리는 열역학에서 등방성 기체에 대해 다음과 같은 관계가 유지된다는 것을 알고 있다.

${\displaystyle P=sublicfrac {1}{3}}U=sublicfrac {4\pi }{3c}J}$

에너지 밀도와 앞서 도출한 평균 비강도 사이의 관계를 대입했습니다.비록 이것은 항성 대기 내의 낮은 깊이의 경우에도 사실일 수 있지만, 표면 근처에서는 그렇지 않습니다.그러나 에딩턴 근사치는 이 값이 대기 내 모든 수준에서 유지된다고 가정합니다.이 값을 압력에 대한 이전 방정식에서 대입하면

$({displaystyle J=black {3F}{4\pi }}(\displaystyle +\kappa)})$

그리고 방사 평형 조건하에서

$({displaystyle S=black {3F}{4\pi }}(\displaystyle +\kappa)})$

이는 적분 상수를 제외하고 소스 함수를 해결했음을 의미합니다.이 결과를 방사선 전달 방정식의 해로 대체하고 적분하면

${\displaystyle I(\tau = 0,\mu)=syslogfrac {3F}{\pi }}{\mu }}{\int _0}{\infty }(\display +\kappa )e^{-\display/\mu}d = frac {4Frac} }$

여기에서는 대기 표면의 광학 깊이 $값$인 ${\(\displaystyle\tau)$의 하한을 0으로 설정했습니다.이것은 예를 들어 태양 표면에서 나오는 방사선을 나타냅니다.마지막으로, 이를 전체 플럭스의 정의에 대입하여 통합함으로써

${\displaystyle F=2\pi \int _{0}^{+1}I\mu d\mu = 149 frac {3F}{2}}\int _{0}^{+1}(\mu ^{2}+\kappa \mu)d\mu = frac {3F}{2}}({\frac {1}{3}}+{\frac {\kappa}{2}})$

따라서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ \$style \kappa$=$scfrac {2}{3}}$이며 소스 함수는 다음과 같다.

$(\displaystyle S(\tau)=pic {3F}{4\pi }}(\display +{\frac {2}{3}})})$

온도 솔루션

복사 전달 방정식의 첫 번째와 두 번째 모멘트를 통합하고, 위의 관계와 2-스트림 한계 근사치를 적용하면 각각의 더 높은 모멘트에 대한 정보로 이어집니다.평균 $강도{\displaystyle }$ H$(\displaystyle$ H$)$의 첫 번째 모멘트는 광학적 깊이에 관계없이 일정합니다.

$\displaystyle H(\tau)=H}$

평균 $강도{\displaystyle }$ K$(\displaystyle$ K$)$의 두 번째 모멘트는 다음과 같습니다.

$\displaystyle K(\tau)=\display H+2/3H=1/3J(\tau)}$

에딩턴 근사치는 이러한 가정의 직접적인 결과이다.

에딩턴 $H$에 대한 유효 $온도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Te}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle$$T_{eff}}$를 정의하고 Stefan-Boltzmann 법칙을 적용함으로써 외부에서 관측된 유효 온도와 매체의 내부 흑체 $온도{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$ 사이의$$ 관계를 실현하였다.

${\displaystyle T^{4}=T_{eff}^4}{\frac {3}{4}}\left(\flac +{\frac {2}{3}}\right)}$

회색 대기 솔루션의 결과는 다음과 같습니다.관찰된 $온도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Te}}_{}}$ f$$ {$displaystyle T_${eff$}}$는 광학 깊이 ${\displaystyle \mathrm{\tau }}$ ${\displaystyle =}$2 /$(\displaystyle$ \$displaystyle$ $= 2$$/3)$에서 실제 온도 T(\displaystyle T$)$의 적절한 측정값이며, 대기 상단 온도는${\displaystyle 0}$.${\displaystyle {\mathrm{841T}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}${$displaystyle$0.$841$입니다.$T_{eff$

이 근사치에 의해 소스 함수는 광학적 깊이에서 선형으로 됩니다.

레퍼런스

Rybicki, George; Lightman, Alan (2004). Radiative Processes in Astrophysics. Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-82759-7.