그래프 합병

그래프 이론에서 그래프 합병은 두 그래프 사이의 관계(한 그래프는 다른 그래프의 합병)이다.유사한 관계에는 하위 그래프와 미성년자가 포함된다.아말감은 특정 구조를 그대로 유지하면서 그래프를 더 단순한 그래프로 줄일 수 있는 방법을 제공할 수 있다.그런 다음 결합을 사용하여 문맥을 더 쉽게 이해할 수 있는 원본 그래프의 속성을 연구할 수 있다.응용 프로그램으로는 임베딩,^[1] 컴퓨터 속 유통,^[2] 해밀턴 분해 등이 있다.

정의

Let ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle H}$ be two graphs with the same number of edges where ${\displaystyle G}$ has more vertices than ${\displaystyle H}$. Then we say that ${\displaystyle H}$ is an amalgamation of ${\displaystyle G}$ if there is a bijection ${\displa$$ystyle \phi :E(G)\to E(H)}$ 및$$ 추측 $\psi {\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \psi :V(G)\to V(H)}$ 및 다음$$ 보류:

• If ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ are two vertices in ${\displaystyle G}$ where ${\displaystyle \psi (x)\neq \psi (y)}$, and both ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are adjacent by edge ${\displaystyle e}$ in ${\displaystyle G}$, then ${\$디스플레이 $스타일 \psi (x)}$ $및{\displaystyle x(}$y$$ ) ${\displaystyle \psi (y)}$은(는) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 에지 $edge{\displaystyle (}$ ${\displaystyle e}$) {\$displaystyle \phi (e)}$에 인접해 있다$$$.$
• $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(${\displaystyle 가}$) $꼭지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ V${\displaystyle }$( G${\displaystyle )}$ ${\displaystyle x\in V(G)}$에 대한 루프인$$ 경우,$$${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \$$psi$$$($e$$)$는 ${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystystyle$\psi (x$)\in$ H$}$에 대한 루프임$.$
• If ${\displaystyle e}$ joins ${\displaystyle x,y\in V(G)}$, where ${\displaystyle x\neq y}$, but ${\displaystyle \psi (x)=\psi (y)}$, then ${\displaystyle \phi (e)}$ is a loop on ${\displaystyle \psi (x)}$.^[3]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 그래프 또는 유사 기록일 수 있지만$$, 일반적으로 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 유사 기록인 경우가 된다는$$ 점에 유의하십시오.

특성.

가장자리 색상은 합병에 불변한다.이것은 두 그래프 사이의 모든 가장자리가 서로 편향되어 있기 때문에 명백하다.그러나 분명하지 않을 수 있는 것은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가$)$ $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ 1 {\$displaystyle$ K_${2n+1}$ 형식의 완전한 그래프라면$,$ 우리는 해밀턴식 분해(해밀턴식 경로로 분해)를 지정하는 것처럼 가장자리를 색칠한다는 것이다(이러면 그 $가장자리$도 H ${\displaystystystyle H}$에서 해밀착을 형성한다$).$

예

그림 ${\displaystyle 1_{}}$은 $K{\displaystyle {}_{}}$ 5 ${\$의 합병을 나타낸다$.$엣지 컬러링과 해밀턴 분해의 불변성을 뚜렷하게 볼 수 있다.함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$은(는) 바이어싱이며$$ 그림에서 문자로 주어진다.$table{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ 함수는 아래 표에 나와 있다$$.

$V(G)}에 표시되는 스타일 v\in V(G)}$	$[\displaystyle \cHB(v)}$
${\displaystyle v_{1}.$	${\displaystyle u_{2}}:$
${\displaystyle v_{2}}:$	${\displaystyle u_{2}}:$
${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle u_{1}}$
${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle u_{3}}$
${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle u_{2}}:$

해밀턴식 분해

아말감을 사용할 수 있는 방법 중 하나는 2n + 1 정점을 가진 완전한 그래프의 해밀턴 분해법을 찾는 것이다.^[4]그 아이디어는 그래프를 가져와서 그 그래프를 합성한 것인데, 가장자리가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn n}$색이고$$ 특정 특성(개략 해밀턴 분해라고 함)을 만족시킨다.그러면 우리는 합병을 '역행'할 수 있고, 우리는 해밀턴 분해에 $채색$된 K ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}를 남긴다.

인 힐튼은 이것을 하는 방법뿐만 아니라 모든 해밀턴 분해물을 반복하지 않고 찾아내는 방법을 개략적으로 설명하고 있다.방법은 그가 제공하는 정리(거의)에 의존하는데, 만약 우리가 해밀턴식 분해의 윤곽을 가지고 있다면, 우리는 먼저 완전한 그래프의 해밀턴식 분해로부터 시작하여 그것에 대한 합병을 찾을 수 있었을 것이라고 기술하고 있다.

메모들

참조

• 바흐마니안, 아민; 로저, 크리스(2012), "그래프 아말감화란 무엇인가?", 오번 대학교
• 힐튼, A. J. W (1984), "해밀턴의 완전한 그래프의 분해, 결합 이론 저널, 시리즈 B 36, 125–134
• 역겨워, 조나단 L;;터커, 토마스 W. (1987), 위상 그래프 이론, 택배 도버 출판물, 151
• Gross, Jonathan L.(2011), "입방 외부 평면 그래프의 유전 분포", Journal of General Outerplanar Graphs and Applications, Vol. 15, No. 2, 295–316