골드바흐-울러 정리

수학에서 Goldbach-Euler 정리(Goldbach의 정리라고도 함)는 1과 반복을 생략한 채 완벽한 p의 집합에 대한 1/(p - 1)의 합이 1로 수렴된다고 기술하고 있다.

\sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.

이 결과는 오일러의 1737년 논문 "변량 관측소 circules infinitas"에 처음 발표되었다.오일러는 그 결과를 골드바흐로부터 온 편지(지금의 분실) 때문이라고 했다.

증명

골드바흐가 오일러에게 보낸 최초의 증거는 상수 $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ = $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ constant n = $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\$ 1}{ $n}}}}$ 등등등수를 할당하는 것이 포함되었는데 $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 이는 서로 다르다.그러한 증거는 현대적인 기준으로 볼 때 엄격하다고 여겨지지 않는다.그의 입증에 사용된 힘을 체로 걸러내는 방법과 오일러의 리만 제타 함수를 위한 제품 공식을 도출하는 데 사용되는 인자화 방법 사이에는 강한 유사성이 있다.

x를 에 의해 주어라

x=1+{\frac {1}{1}:{1}:{1}{1}:{3}+{3}+{\frac {1}{1}:{4}}+{4}+{5}}+{\frac {1}{1}}}{7}}}}{\frac {1}{8}}}}}}cdots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

2의 모든 전력의 역수 $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 가 $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 1 = $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 2 + $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 4 + $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 8 + $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ + 16 + $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ {\ $displaystyle \textstyle$ 1 $={\frac{1}2}}+{1}{4}}+{\frac{1}}}+{1}{16}}}\cdots$ $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 이 x의 2의 힘으로 항을 뺀다.

x-1=1+{\frac {1}{1}:{3}+{5}+{5}+{7}+{7}}+{\frac {1}{1}{1}{1}}}+{\frac {1}}{10}}}+{\frac {11}}}}}cdots}}}}}}}}}}}

$\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ 2 $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ = $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ + $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ + 1 $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ 9 + $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ + 1 $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$ ${\$ {\ $frac{1}:{2}}:={\frac{1}}}+{3}+{1}{1}{27}}}}{$ 81}}}}\ $frac$ {1 $}{81}}}}\cdots}}$ 의 힘으로 이 과정을 반복하십시오.

x-1-{\frac {1}{1}:{2}}=1+{\frac {1}{1}{5}+{5}{6}}+{7}}+{\frac {1}{1}{11}}+{\frac {1}{12}}}}cdots}}

위의 합에 없는 것은 이제 모두 2와 3의 힘을 가진 조건이다.오른쪽이 1의 값으로 소진될 때까지 5, 6 등의 힘을 가진 항을 제거하여 계속한다.결국 우리는 방정식을 얻는다.

x-1-{\frac {1}{1}{1}:{2}}-{4}-{\frac {1}{1}{5}-{5}-{6}-{\frac {1}{1}{9}-\cdots =1

로 재배열해서

x-1=1+{\frac {1}{1}:{2}}+{\frac {1}{1}{4}+{4}}{\frac {1}{5}}+{6}+{\frac {1}{1}{9}}}+\cdots }}

여기서 분모는 1에서 1을 뺀 모든 양의 정수로 구성된다.위에서 주어진 x의 정의에서 이전 방정식을 빼서 우리는 얻는다.

1={\frac {1}{1}:{3}+{7}+{7}+{1}{1}{1}{1}{1}:{8}+{8}+{15}}+{\frac {1}}{1}}+{\frac {1}{31}}+\frac {cdots}}}}}}}}}}}

여기서 분모는 1에서 1을 뺀 완벽한 힘들로만 구성된다.

수학적인 엄격함이 부족하지만 골드바흐의 증거는 정리의 진실에 대해 합리적으로 직관적인 주장을 제공한다.엄격한 증명에는 조화 계열의 상이한 용어에 대한 적절하고 보다 세심한 처리가 필요하다.다른 증명에서는 1을 제외하고 반복을 포함한 p의 완전 파워 p 집합에 대한 1/p의 합이 1로 수렴된다는 사실을 다음과 같이 입증한다.

\sum \p}^{p}^{p-1}{p-1}=\sum _{m=2}}^{n=2}^\sum _{n=}{n1}{m^}=1}=1.

참고 항목

참조

Viader, Pelegrí; Bibiloni, Lluís; Paradís, Jaume (2006). "On a series of Goldbach and Euler" (PDF). American Mathematical Monthly. 113 (3): 206–220. doi:10.2307/27641889. hdl:10230/382. JSTOR 27641889..
Graham, Ronald; Donald Knuth; Oren Patashnik (1988). Concrete Mathematics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8.

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