하리쉬찬드라 c-기능

수학에서 하리쉬-찬드라의 c-함수는 두 개의 주요 시리즈 표현 사이에 얽힌 연산자와 관련된 함수로서, 반실행 리 그룹에 대한 플랑쉐렐 측정에 나타난다.하리쉬찬드라(1958a, 1958b)는 리군(Lie group)의 지역 구면함수의 점증거동(stepottic action) 측면에서 정의한 특수한 경우를, 하리쉬찬드라(1970)는 하리쉬찬드라(generalized) C-함수라고 하는 보다 일반적인 c-함수를 도입했다.긴디킨과 카르펠레비치(1962년, 1969년)는 하리쉬-찬드라 c기능의 제품 공식인 긴디킨-카펠레비치 공식을 소개했다.null

긴디킨-카르펠레비치 공식

c-함수는 Weyl 그룹의 요소 w에 따라 일반화 c_w(c)를 갖는다.The unique element of greatest length s₀, is the unique element that carries the Weyl chamber ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$ onto ${\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$. By Harish-Chandra's integral formula, c_s0 is Harish-Chandra's c-function:

${\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\\da ).}$

c-기능은 일반적으로 방정식에 의해 정의된다.

${\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0}}$

여기서 ξ은₀ L²(K/M)의 상수함수 1이다.서로 얽힌 연산자의 cocycle 속성은 c-기능에 대해 유사한 곱셈 속성을 내포한다.

${\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\chda )=c_{s_{1}{1}:{1}(s_{2}\chda )c_{s_{2}}(\chda )}$

제공했다

${\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1}+\ell (s_{2})}$

이렇게 하면 s = s_α, (단순)근(α)의 반사, 긴디킨&카펠레비치의 소위 "순위 1 감소" (1962) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CITREFGindikin Karpellevich1962 (도움말)의 경우에 대한 c의_s 연산이 감소한다.실제로 적분은 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$± ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$에 의해 생성된 Lie 하위골격에 해당하는 닫힌 연결 부분군 G만^α 포함한다. 여기서$$ α는 lies에₀⁺ 있다.그러면 G는^α 진짜 반실행형 Lie 그룹이며, 즉 딤^α A = 1이고, c는_s G의^α 하리쉬-찬드라 c-함수일 뿐이다.이 경우 c-기능은 직접 계산할 수 있으며 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})}}}}}$

어디에

${\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}}\감마 \좌측({1 \over 2})(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\우측)}}}$

그리고 α₀=α/ α,α 〉.null

c(c)에 대한 일반 긴디킨-카르펠레비치 공식은 이 공식과 c_s(c)의 곱셈 성질의 즉각적인 결과로서 다음과 같다.

${\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})}}}}}$

여기서 c(–iρ)=1(Helgason 2000, 페이지 447)이 되도록 상수 c를₀ 선택한다.null

플랑쉐럴척도

구면함수에 대한 플랑쉐렐 정리에 c-기능이 나타나며, 플랑쉐렐 측정치는 르베그 측정치의 1/c이다².null

p-adic Lie 그룹

p-adic Lie 그룹에도 비슷한 c-기능이 있다.맥도날드(1968, 1971)와 랭글랜드(1971)는 p-adic Lie 그룹의 c-기능에 대해 유사한 제품 공식을 발견했다.null

참조

• Cohn, Leslie (1974), Analytic theory of the Harish-Chandra C-function, Lecture Notes in Mathematics, vol. 429, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0064335, ISBN 978-3-540-07017-7, MR 0422509
• Doran, Robert S.; Varadarajan, V. S., eds. (2000), "The mathematical legacy of Harish-Chandra", Proceedings of the AMS Special Session on Representation Theory and Noncommutative Harmonic Analysis, held in memory of Harish-Chandra on the occasion of the 75th anniversary of his birth, in Baltimore, MD, January 9–10, 1998, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 68, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. xii+551, ISBN 978-0-8218-1197-9, MR 1767886
• Gindikin, S. G.; Karpelevich, F. I. (1962), "Plancherel measure for symmetric Riemannian spaces of non-positive curvature", Soviet Math. Dokl., 3: 962–965, ISSN 0002-3264, MR 0150239
• Gindikin, S. G.; Karpelevich, F. I. (1969) [1966], "On an integral associated with Riemannian symmetric spaces of non-positive curvature", Twelve Papers on Functional Analysis and Geometry, American Mathematical Society translations, vol. 85, pp. 249–258, ISBN 978-0-8218-1785-8, MR 0222219
• Harish-Chandra (1958a), "Spherical functions on a semisimple Lie group. I", American Journal of Mathematics, 80 (2): 241–310, doi:10.2307/2372786, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372786, MR 0094407
• Harish-Chandra (1958b), "Spherical Functions on a Semisimple Lie Group II", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 80 (3): 553–613, doi:10.2307/2372772, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372772
• Harish-Chandra (1970), "Harmonic analysis on semisimple Lie groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 76 (3): 529–551, doi:10.1090/S0002-9904-1970-12442-9, ISSN 0002-9904, MR 0257282
• Helgason, Sigurdur (1994), "Harish-Chandra's c-function. A mathematical jewel", in Tanner, Elizabeth A.; Wilson., Raj (eds.), Noncompact Lie groups and some of their applications (San Antonio, TX, 1993), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., vol. 429, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 55–67, ISBN 978-0-7923-2787-5, MR 1306516, Reprinted in (Doran & Varadarajan 2000)
• Helgason, Sigurdur (2000) [1984], Groups and geometric analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 83, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2673-7, MR 1790156
• Knapp, Anthony W. (2003), "The Gindikin-Karpelevič formula and intertwining operators", in Gindikin, S. G. (ed.), Lie groups and symmetric spaces. In memory of F. I. Karpelevich, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 210, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 145–159, ISBN 978-0-8218-3472-5, MR 2018359
• Langlands, Robert P. (1971) [1967], Euler products, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, MR 0419366
• Macdonald, I. G. (1968), "Spherical functions on a p-adic Chevalley group", Bulletin of the American Mathematical Society, 74 (3): 520–525, doi:10.1090/S0002-9904-1968-11989-5, ISSN 0002-9904, MR 0222089
• Macdonald, I. G. (1971), Spherical functions on a group of p-adic type, Ramanujan Institute lecture notes, vol. 2, Ramanujan Institute, Centre for Advanced Study in Mathematics, University of Madras, Madras, MR 0435301
• Wallach, Nolan R (1975), "On Harish-Chandra's generalized C-functions", American Journal of Mathematics, 97 (2): 386–403, doi:10.2307/2373718, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373718, MR 0399357