길버트-셰넌-레즈 모형

발뺌하는 카드의 수학에서 리플 셔플 순열에 인간 shuffling,[1]의 실험적으로 관찰된 결과에 대한 좋은 시합이라고 하며 추천 7배 되기 위해 카드 한벌 riffled의 기초를 형성한 것으로 알려졌다, Gilbert–Shannon–Reeds 모델은 확률 분포.월아니면 무작위로 ^[2]만들죠그것은 길버트가 1955년^[3] 기술 보고서와 1981년 출판되지 않은 리드의 원고에 보고된 에드거 길버트, 클로드 섀넌, J. 리드의 작품에서 이름을 따왔다.

모델

요소를 2개의 연속된 서브시퀀스로 분할한 후 2개의 서브시퀀스를 임의로 인터리빙함으로써 일련의 엘리먼트의 리플 셔플 치환을 얻을 수 있다.예를 들어, 이것은 카드 한 장을 두 개의 카드 더미로 자르고, 그 다음에 함께 구겨짐으로써 카드 한 장을 섞는 많은 일반적인 방법을 설명합니다.Gilbert-Shannon-Reds 모형은 이러한 각 순열에 확률을 할당합니다.이와 같이 셔플이 랜덤으로 실행되었을 때 각 치환을 얻을 확률을 기술한다.모델은 다음과 같은 방법으로 정의할 수 있으며, 이 랜덤 셔플을 수행하는 대체 방법을 설명합니다.

• 인간이 카드를 섞는 방식과 가장 유사하게, 길버트-셰넌-리드 모델은 카드 한 장을 무작위로 잘라낸 다음 구겨내는 특정 수학 모델에서 얻은 확률을 기술합니다.우선, 덱을 2개의 패킷으로 잘라냅니다.총$$n장의$$ $카드$가 있는 경우, 첫 번째 데크에서$k장의$ 카드와 $두{\displaystyle }$ 번째 데크에서${\displaystyle }$n -$k장의$ 카드를$$ $선택$할 확률은 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k${\displaystyle }$) / ${\displaystyle 2^{}}$n \ $display style${$n$} / $2$^ {$n$} 로${\displaystyle }$정의됩니다.한 번에 1장의 카드가 이동됩니다.shuffled 덱의 상부에 대한 패킷의 하부에 x$($$x$${\displaystyle )}$$카드$가 1개의 패킷에 있고$$y$$$($x+y)카드가 $다른{\displaystyle }$ 패킷에 있는 경우 첫 번째 $패킷$에서 카드를 선택할 확률은${\displaystyle }$x${\displaystyle }$/ (${\displaystyle x}$ +$)\displaystyle$ x$/(x+y$)\displaystyle x/(x+y$)$를 선택할 확률은 f입니다.rom 두 번째 $패킷$은 ${\displaystyle y}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle }$y$$) {$displaystyle$ y$/(x$ + y$)\}$^[2] 입니다.
• 두 번째 대체 기술은 각 카드가 제1 또는 제2의 ^[2]패킷으로부터 동등하게 도달했을 가능성이 높은 초기 덱의 치열을 생성하는 모델의 특성에 근거할 수 있다.이 모델에 따라 랜덤 치환을 생성하려면 먼저 균등화 $동전$을$$n회(\$displaystyle$ n$$$)$ 플립하여 첫 번째 패킷에서 온 것인지 두 번째 패킷에서 온 것인지 섞은 덱의 각 위치에 대해 판단합니다.그런 다음 뒤집힌 꼬리 수와 헤드 수 크기의 두 개의 패킷으로 분할하고 동일한 동전 플립 시퀀스를 사용하여 혼합된 덱의 각 카드를 꺼낼 패킷을 결정합니다.
• 세 번째 대체 설명은 더 추상적이지만 수학적 분석에 더 적합합니다.단위 간격의 균일한 연속 분포에서 n개$(\displaystyle$ n$)$ 값$$ $집합$을 생성하여 정렬 순서대로 배치합니다.그런 다음 동적 시스템 이론의 더블링 맵 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$x ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$1)$$(\$displaystyle$x\$mapsto 2x{\pmod {1})$는 이 포인트 시스템을 길버트-셰논-레즈 모델에 따른 순열로 매핑하고 새로운 포인트의 위치는 다시 균일하게 ^[2][4]랜덤합니다.

카드 덱의 가능한 모든 리플 셔플 배열 중에서 Gilbert-Shannon-Reds 모델은 거의 모든 리플의 발생 확률 1$(\$ 1$/2^{n$을 같게 합니다.단, ID 순열이라는1개의 예외가 있습니다.이것은 발생할 확률이 ^[5](${\displaystyle n}$ $($로 높아집니다.

역

랜덤 리플의 역순열은 직접 생성될 수 있습니다.그러기 위해서는 먼저 n장의 카드 한 장부터 시작하여 2장의 말뚝 중 하나에 카드 바닥의 카드를 반복적으로 넣고 2장의 말뚝 중 어느 쪽에 카드를 붙일지 같은 확률로 랜덤으로 선택합니다.그런 다음 모든 카드가 처리되면 두 개의 파일을 다시 ^[2]쌓습니다.

반복적인 리플 효과

Bayer & Diaconis(1992)는 순열에 대한 두 확률 분포 사이의 총 변동 거리를 수학적으로 분석했다. 즉, 모든 순열이 동등할 가능성이 있는 균일한 분포와 길버트-샤논-레즈 모델을 반복적으로 적용함으로써 생성된 분포이다.총 변동 거리는 두 확률 분포가 얼마나 비슷하거나 다른지를 측정합니다. 두 분포가 동일한 경우에만 0이 되며, 동일한 값을 생성하지 않는 확률 분포의 경우 최대값 1에 도달합니다.Bayer와 Diaconis는 n개의 카드 덱에 대해 ${\displaystyle {\mathrm{3개}}_{}}$의 2 ${\displaystyle {log\mathrm{}}_{}}$ $2$n + ${\$ { $style${$tfrac {3} {2}$ $n$ + \ $theta }회$ $교반했다고{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 보고했다. 여기서 θ는 임의 상수이며 θ가 0보다 상당히 작을 경우 총 변동 거리는 1에 가깝고 θ가 0보다 클 경우 0에 가깝고, θ가 유의하게 클 경우 0에 가깝다.특히 n의 y = 52의 경우, 5개의 리플은 균등으로부터의 총 변동 거리가 여전히 1에 가까운 분포를 생성하는 반면, 7개의 리플은 총 변동 거리 0.334를 제공한다.이 결과는 카드 ^[6][7][8]덱을 완전히 랜덤화하기 위해 7번 리프를 해야 한다는 것을 시사하는 것으로 널리 보도되었다.

유사한 분석은 엔트로피 측면에서 정의된 두 가지 확률 분포 사이의 거리인 Kullback-Leibler divergence를 사용하여 수행되었습니다.분포의 분산은 카드 덱의 초기 상태에 대해 아직 회복할 수 있는 정보의 비트 수로 해석할 수 있습니다.The results are qualitatively different: rather than having a sharp threshold between random and non-random at ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\log _{2}n}$ shuffles, as occurs for total variation distance, the divergence decays more gradually, decreasing linearly as the number of shuffles ranges from zero to ${\displaystyle {\log }_{}}$2⁡ n{\displaystyle \log_{2}n}(어떤 점에서 정보를 남은 비트 수를, 로그 계수에 의해 초기 값보다 작은 선형적입니다) 다음 기하 급수적으로까지 감소하고, 3일 뒤 2로그 2⁡ n{\displaystyle{\tfrac{3}{2}}\log _{2}n} 걸치고, 정보를 숫자가 남아 있다.[9][10]

레퍼런스