긴꼬리 분포와 변동성 클러스터링을 갖춘 재무 모델

고전적 금융 모델의 현실성 문제를 극복하기 위해 긴꼬리 분포와 변동성 클러스터링을 갖춘 금융 모델이 도입되었다. 이러한 금융 시계열의 고전적 모델은 전형적으로 균질성과 정규성을 가정하여 금융에서 경험적 자산 수익의 왜도, 무거운 꼬리, 변동성 군집화와 같은 양식화된 현상을 설명할 수 없다. 1963년에 Benoit Mandelbrot는 왜도와 헤비테일 특성을 갖는 경험적 분포를 모형화하기 위해 안정적(또는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -stable$$) 분포를 처음 사용했다. $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$ -안정$$ 분포는 모든 > ${\displaystyle$ p$>\alpha }$에 대해 $무한{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $p$$}$ -th$$ 모멘트가 있기 때문에, 이러한 안정 분포의 한계를 극복하기 위해 강화 안정적 프로세스가 제안되었다

한편, GARCH 모델은 변동성 군집화를 설명하기 위해 개발되었다. GARCH 모델에서 혁신(또는 잔차) 분포는 이러한 가정이 경험적으로 거부되는 경우가 많음에도 불구하고 표준 정규 분포로 가정된다. 이 때문에 비정규적인 혁신 분포를 갖는 GARCH 모델이 개발되었다.

변동성 클러스터링과 함께 안정적이고 담금질된 분배와 함께 많은 금융모델이 개발되어 위험관리, 옵션가격결정, 포트폴리오 선택에 적용되었다.

무한분할분포

$랜덤{\displaystyle }$ $변수{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle Y}$은(는) 각 n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=1,2,\dots$에 대해 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수가 있는 경우 무한할당(무한 분할)이라고 불린다.

${\displaystyle Y_{n,1},Y_{n,2},\dots,Y_{n,n}\,}$

그런

${\displaystyle Y{\stackrel {\mathrm {d}{}}{}}\sum _{k=1}^{n}Y_{n,k},\,}$

여기서${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\${\$mathrm {d}{=}}}$은(는) 분포에서 동일함을 나타낸다$$.

${\displaystyle \nu \mathrm{}}$($$0 ) = 0 {\displaystyle$\mathb$ {${\displaystyle \mathrm{R}}$}${\displaystyle }$$}$에 $대한{\displaystyle \mathbb{}}$ Borel $측정값{\displaystyle }$ {$$${\displaystyle \nu}을(를)$ 레비 측정값이라고 함

${\displaystyle \int _{\mathb {R}}}}(1\wedge x^{2} )\,\nu(dx)<\inforty .}$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 무한히 분할할 경우 특성 함수 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}u}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle Y^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \phi _{Y}(u)=$$E[e^{iuY}]}$은(는) 다음에 의해 제공됨$$

${\displaystyle \phi _{Y}(u)=\exp \left(i\gamma u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}+\int _{-\infty }^{\infty }(e^{iux}-1-iux1_{ x \leq 1})\,\nu (dx)\right),\sigma \geq 0,~~\gamma \in \mathbb {R} }$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma \geq$ 0$},$ $,$ γ ${\$ and$$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 레비 측정값이다$$. 여기서 트리플${\displaystyle }$(${\displaystyle {\sigma 2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}\nu ,}$ ${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu,\gamma )}$은 Y ${\displaysty Y}$의 레비 트리플트라고 불린다$$$.$ 이 트리플트는 독특하다. 반대로 위의 조건을 만족하는$$ 임의의 선택$({\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}\nu }$ ,${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma$)을 위해 characteristic ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle$ Y$}$이(가) 존재하며, 특성$$ 함수는 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ Y ${\$로 주어진다$.$

α-안정 분포

실제 값 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$ -안정적인 분포가 있다고 하며$$, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle$ $n_{n}}$에 대해 양의 $숫자{\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyc_${${\displaystyle n_{}}$}과$$ 실수의$$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 있다.

${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}{\stackrel {\mathrm {d}{}{=}C_{n}X+D_{n}}\,}$

여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle X_{}}$ n ${\$는 $독립적$이며 X ${\displaystyle$ X$}$의 분포와 동일한 분포를 가지고 있다$.$ 모든 안정 랜덤 변수는 무한히 분할된다. It is known that ${\displaystyle C_{n}=n^{1/\alpha }}$ for some ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$. A stable random variable ${\displaystyle X}$ with index ${\displaystyle \alpha }$ is called an ${\displaystyle \alpha }$-stable random variable.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -안정적인$$ 랜덤 변수로 설정하십시오$$. 그런 다음 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$}의$$ 특성 함수 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ X ${\$가 주어진다$$.

${\displaystyle \phi_{X}(u)={\begin{경우}\exp \left(i\mu u-\sigma ^{\alpha}너 ^{\alpha}\left(1-i\beta \operatorname{sgn}(너)\tan \left({\frac{\pi \alpha}{2}}\right)\right)\right)&{\text{만약}}\alpha\in(0,1)\cup(1,2)\\\exp \left(i\mu u-\sigma 너 \left(1+i\beta \operatorname{sgn}(너)\left({\frac{2}{\pi}}\right)\ln(u)\right)\right)&am.p/&{\text{if }\cHB =1\\\exp \left(i\mu u-{1}{1}:{2}}:\frac ^{2}\오른쪽)&{\ipext{}\cHB =2\case}}}}}}$

일부${\displaystyle }\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$,$ > ${\displaystyle \sigma >0}$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1]}$[\$displaystyle \beta \in [-1$

강화안정분포

An infinitely divisible distribution is called a classical tempered stable (CTS) distribution with parameter ${\displaystyle (C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$, if its Lévy triplet ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ is given by ${\displ$$aystyle$$$ $\sigma =0},$${\displaystyle <img\; alt="\backslash sigma\; =0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1eb4831f1e0ca1ba7d007dc6b973e54787e1a4b4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.591ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="96">}\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ 및

${\displaystyle \nu (dx)=\left({\frac {C_{1}e^{-\lambda _{+}x}}{x^{1+\alpha }}}1_{x>0}+{\frac {C_{2}e^{-\lambda _{-} x }}{ x ^{1+\alpha }}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

서 , ,+ ,-> 0 ${\displaystyle C_{1}, C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-}0$$},$ < ${\displaystyle \alpha <2$

이 분포는 '절삭된 레비 항공편^[1]'이라는 이름으로 처음 도입되었으며 강화형 마굿간 또는 KoBoL 분포로 불려왔다.^[2] 특히 = 2= > 0 ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=C>0}$이가) 있다면, 이 분포를 재무 모델링에 사용되어 온 CGMY 분포라고 한다.^[3]

강화안정분포를 위한$$ 특성함수 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\$는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi_{CTS}(u)=\exp \left(iu\mu +C_{1}\Gamma(-\lambda _{+}-iu)^{\alpha }-\lambda _{+}^{\alpha }}+C_{2}\감마(-\alpha )(\lambda _{-}+iu)^{\reason }-\boda _{-}^{\reason }\right),}$

for some ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$. Moreover, ${\displaystyle \phi _{CTS}}$ can be extended to the region ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)\in (-\lambda _{-},\lambda _{+})\}}$.

Rosiński는 강화안정분포라는 이름으로 CTS분포를 일반화했다. 로시우스키 일반화 강화 안정화 분배의 하위 등급인 KR 분배는 금융에 사용된다.^[4]

An infinitely divisible distribution is called a modified tempered stable (MTS) distribution with parameter ${\displaystyle (C,\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$, if its Lévy triplet ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ is given by ${\displaystyle \sigma =0}$, ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$}$및

${\displaystyle \nu (dx)=C\left({\frac {q_{\alpha }(\lambda _{+} x )}{x^{\alpha +1}}}1_{x>0}+{\frac {q_{\alpha }(\lambda _{-} x )}{ x ^{\alpha +1}}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

여기서 , + ,-> 0, < ${\displaystyle C,\lambda _{+},\lambda _{-}0,\alpha <2}$ 및

${\displaystyle q_{\alpha }(x)=x^{\frac {\alpha +1}{2}}K_{\fraca {\alpha +1}{2}}(x)}$

여기서 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle K_{p}(x)}$은(는) 두 번째 종류의 수정된 베셀 함수다$$. MTS 분포는 Rosiński의 일반화된 강화 안정 분포에 포함되지 않는다.^[5]

안정적이고 강화적인 혁신을 통한 변동성 클러스터링

자산의 수익 프로세스의 변동성 군집화 효과를 설명하기 위해 GARCH 모델을 사용할 수 있다. In the GARCH model, innovation (${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$) is assumed that ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$, where ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)}$ and where the series ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ are mo에 이끌려.

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}$

그리고 여기서 > 0 ${\$ ~\property_${0}_0$$}$과 > 0 ${\displaystyle \protect \i}\geq$0, ~$i>0$

그러나 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$~ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \text{d}}$ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0$,1)의 가정은 경험적으로 거부되는 경우가$$ 많다. 그 때문에 안정적이거나 담금질된 분산형 혁신을 가진 새로운 GARCH 모델이 개발되었다. $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ -안정적인$$ 혁신을 가진 GARCH 모델이 도입되었다.^[6][7][8] 이후 강화형 안정적 혁신을 가진 GARCH 모델이 개발됐다.^[5][9]

금융모형에서 안정적인 분배의 사용에 대한 반대는 다음과 같다.

메모들

참조

• B. B. Mandelbrot(1963) "통계경제학의 새로운 방법", 정치경제학 저널, 71, 421-440
• 스베틀로자르 T. 라체프, 스테판 미트니크(2000년) 안정적인 파레티안 모델즈 인 파이낸스, 와일리
• G. Samorodnitsky와 M. S. Taqqu, 안정적인 비 가우스 랜덤 프로세스, Chapman & Hall/CRC.
• S. I. 보야르첸코, S. Z. Levendorskiǐ(2000) "절단된 레비 프로세스에 대한 옵션 가격", 국제 이론 및 응용 금융 저널, 3(3), 549–552.
• J. Rosiskiski(2007) "온도 안정적 프로세스", 확률적 프로세스 및 그 적용, 117(6), 677–707.