위상군의 확장

수학에서, 좀 더 구체적으로 위상군의 확장 또는 위상 $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ 은 H → ı $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → π $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → 0 ${\displaystyle 0\to H{\imath}}{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to$ }} $G\to 0.$ $H,$ $X$ $H,X$ $G$ G $G$ 는 위상군이고 i ${\displaystyle$ G}입니다. $i}$ 및 $π$ $\pi$ 은(는) 연속 동형 사상으로, 이미지에서도 열려 있습니다.따라서 위상 그룹의 모든 확장은 그룹 확장입니다.

위상군 확장 분류

우리는 위상적 확장이

0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi}{\rightarrow }}G\rightarrow 0

그리고.

0\toH{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi'}{\rightarrow }}G\rightarrow 0

만약 위상 동형 $T:X\to X'$ X → $T:X\to X'$ $T:X\to X'$ 가 존재한다면, 가 동치(또는 합동)이며, 이는 도 1의 도식을 상용화합니다.

우리는 위상적 확장이

0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi}{\rightarrow }}G\rightarrow 0

가 사소한 확장과 같은 경우 분할 확장(또는 분할)입니다.

0\오른쪽 화살표 H{\stackrel {i_{H}}{{\rightarrow}}}{\times G{\stackrel{\pi_{G}}{\rightarrow}}}G\rightarrow 0

여기서 $i_{H}:H\to H\times G$ $i_{H}:H\to H\times G$ : $i_{H}:H\to H\times G$ → $i_{H}:H\to H\times G$ × G ${\displaystyle i_{$ $H:H\toH\times G}$ 는 첫 번째 인자에 대한 자연스러운 포함이고 $π$ $\pi _{G}:H\times G\to G$ $\pi _{G}:H\times G\to G$ × $\pi _{G}:H\times G\to G$ $→$ G ${\displaystyle \pi_{G}:$ $H\times G\to G}$ 는 $\pi _{G}:H\times G\to G$ 두 번째 인자에 대한 자연스러운 투영입니다.

$R\circ i$ 확장 0 → $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → π $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → 0 $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi}{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ 이(가) 분할되는 경우에만 R: $R:X\rightarrow H$ → $R:X\rightarrow H$ ∘ $R\circ i$ $R\circ i$ 가 $H$ {\di $}$ 의 항등식 맵이 되도록 $R:X\rightarrow H$ $R:X\rightarrow H$ 임을 쉽게 증명할 수 있습니다. $playstyle H}$

위상 확장자 $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → i $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → π $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ ${\displaystyle 0\rightarrow$ } ${\stackrel {i}{\rightarrow$ }} $X{\stackrel {\pi}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ 은(는) 하위 그룹 $($ {\ $displaystyle i$ $(H$ $)}$ 의 위상 직접 합인 경우에만 분할됩니다 $.$

예

R ${\$ $displaystyle \mathbb {R}}$ 실수를 $\mathbb {R}$ 취하고 Z {\ $displaystyle$ \mathbb {Z $} 정수를$ 취합니다 $\mathbb {Z}$ $.$ ı ${\displaystyle$ \ $imath$ } 자연 $\imath$ 포접을 π ${\displaystyle$ \ $pi}$ 자연 $\pi$ 사영을 취한 다음

0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath}}{\to}}}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0

위상 아벨 군의 확장입니다.실제로 그것은 분할되지 않은 확장의 예입니다.

국소 콤팩트 아벨 군(LCA)의 확장

위상 아벨리안 그룹의 확장은 정확한 수열 $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → ı $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → π $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ → $0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0$ ${\displaystyle 0\to$ H ${\imath}}{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to$ 0 $}$ 이며, $H,X$ 서 H $,$ X $H,X$ $및$ $G$ {\ $displaystyle G}$ 는 로컬 콤팩트 아벨리안 그룹이고 i {\ $displaystyle i}$ 및 π $\pi$ 은(는) 비교적 열린 연속형입니다.동형 ^[2]사상

로컬 콤팩트 아벨 군들의 확장이라 하자.

0\toH{\stackrel {\imath}}{\to}}X{\stackrel {\pi}{\to}}G\to0.

H^{\wedge },X^{\wedge }

∧

H^{\wedge },X^{\wedge }

H^{\wedge },X^{\wedge }

∧

{\displaystyle

H

^{\wedge}}, X

^{\

wedge}},

G^{\wedge }

∧

G^{\wedge }

{\

displaystyle G^{\wedge}}

의 H

,

X

{\

displaystyle H, X

},

G

{\

displaystyle

G

}

의 폰트랴긴 쌍성을

i^{\wedge }

i ∧

i^{\wedge }

{\

displaystyle i^{\wedge},

i

π ∧

\pi ^{\wedge }

{\

displaystyle \pi

^{\

wedge}}

의 쌍성 지도를 취합니다

\pi

그다음 순서는 i

i

와 π

\pi

의 쌍성 지도를 취합니다.

0\to G^{\wedge }{\stackrel {\pi ^{\wedge }}{\to }}{\stackrel {\imath ^{\wedge }}{\to }}H^{\wedge }\to 0

는 국부적으로 콤팩트한 아벨 군들의 확장입니다.

단위 원에 의한 위상 아벨 군의 확장

매우 특수한 종류의 위상 확장은 0 $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → π $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }$ X ${\stackrel {\pi}{\rightarrow$ } $G\rightarrow 0}$ 이며, $\mathbb {T}$ 서 T ${\$ $displaystyle {T}$ 는 단위 원이고 X $\mathbb {T}$ {\ $displaystyle X}$ 및 $G$ ${\$ displaystyle $G}$ 는 위상 아벨 군입니다.

클래스 S(T)

위상 아벨리안 그룹 $G$ $G$ 는 $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ 의 모든 위상 확장자가 T $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → π G → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ {\ $displaystyle$ 0 $\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}$ {\ $rightarrow }}}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ 분할인 경우에만 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ 합니다 $.$

모든 국소 콤팩트 아벨 군은 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ ( ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T})$ 에 속합니다 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ 즉, $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ 위상 확장 0 → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → π $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ → $0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0$ ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }} X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }} G\rightarrow 0},$ $G$ 서 G ${\displaystyle$ G}는 국소 콤팩트 아벨 군입니다.갈라짐

모든 국소적으로 미리 콤팩트 아벨 군은 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ ( ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T})$ 에 속합니다 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$

바나흐 공간(특히 위상 아벨 군) ℓ $\ell ^{1}$ $\ell^{1}$ 은(는) ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T})$ 에 속하지 않습니다 ${\mathcal {S}}(\mathbb {T} )$

참고문헌

^ Cabello Sánchez, Félix (2003). "Quasi-homomorphisms". Fundam. Math. 178 (3): 255–270. doi:10.4064/fm178-3-5. Zbl 1051.39032.
^ Fulp, R.O.; Griffith, P.A. (1971). "Extensions of locally compact abelian groups. I, II" (PDF). Trans. Am. Math. Soc. 154: 341–356, 357–363. doi:10.1090/S0002-9947-1971-99931-0. MR 0272870. Zbl 0216.34302.
^ Bello, Hugo J.; Chasco, María Jesús; Domínguez, Xabier (2013). "Extending topological abelian groups by the unit circle". Abstr. Appl. Anal. Article ID 590159. doi:10.1155/2013/590159. Zbl 1295.22009.

[1] Cabello Sánchez, Félix (2003). "Quasi-homomorphisms". Fundam. Math. 178 (3): 255–270. doi:10.4064/fm178-3-5. Zbl 1051.39032.

[2] Fulp, R.O.; Griffith, P.A. (1971). "Extensions of locally compact abelian groups. I, II" (PDF). Trans. Am. Math. Soc. 154: 341–356, 357–363. doi:10.1090/S0002-9947-1971-99931-0. MR 0272870. Zbl 0216.34302.

[3] Bello, Hugo J.; Chasco, María Jesús; Domínguez, Xabier (2013). "Extending topological abelian groups by the unit circle". Abstr. Appl. Anal. Article ID 590159. doi:10.1155/2013/590159. Zbl 1295.22009.

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