익스팬더 워크 샘플링

그래프 이론의 수학적 분야에서는 비교적 짧은 무작위 산책을 수행하여 확장자 그래프에서 정점을 추출하면 균일한 분포에서 독립적으로 정점 표본을 시뮬레이션할 수 있다고 확장자 산책 표본 추출 정리는 직관적으로 기술하고 있다.이 정리의 초기 버전은 아제타이, 콤일로스 & 스제메레디(1987년)에 기인하며, 보다 일반적인 버전은 일반적으로 길만(1998년)에 기인한다.

성명서

Let ${\displaystyle G=(V,E)}$ be an n-vertex expander graph with positively weighted edges, and let ${\displaystyle A\subset V}$. Let ${\displaystyle P}$ denote the stochastic matrix of the graph, and let ${\displaystyle \lambda _{2}}$ be the second largest eigenvalue of ${\textstyle P}$$$. Let ${\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k-1}}$ denote the vertices encountered in a ${\displaystyle (k-1)}$-step random walk on ${\displaystyle G}$ starting at vertex ${\displaystyle y_{0}}$, and let ${\textstyle \pi (A):$=}lim k→ ∞ 1k∑ 나는 갈0k− 11A(y는 나는){\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty}{\frac{1}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}\mathbf{1}_ᆲ(y_{나는})}. 어디 1A(y){1, y∈ 0, 그렇지 않으면{\textstyle \mathbf{1}_ᆴ(y){\begin{경우}1,&,{\text{만약}}y\in A\\0,&,{\text{ 다른.현명한}})$끝{케이스}}}$

($y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$y ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$,$$y_{k-1}$의 거의 모든 궤도는 $k$→ ${\$$textstyle$$$$k\$$rightarrow }}}$의 일부 제한 지점인 $\pi$($A$)에 수렴한다는$$ 것은 잘 알려져^[1] 있다.$$

그 정리 가중 그래프 1y이 G=(V, E){G=(V,E)\displaystyle}과 랜덤 워크는 y0,…, yk− 1{\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k-1}}이 y0{\displaystyle y_{0}}초기 분배 q{\textstyle \mathbf{q}}에 의해, 모든γ 을에 선택된다;0{\display이라고 말한다.다래끼$르 \cHB$ >0 우리는 다음과 같은 한계를 가지고 있다.

${\displaystyle \Pr \left[{\bigg }{\frac {1}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}\mathbf {1} _{A}(y_{i})-\pi (A){\bigg }\geq \gamma \right]\leq Ce^{-{\frac {1}{20}}(\gamma ^{2}(1-\lambda _{2})k)}.}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) $q{\displaystyle \mathbf{},}$ ${\displaystyle G}${$q},$$G{\displaystyle }$$}$$$및 A$$ {\$displaystyle A}$에 따라 달라진다$.$

이 정리는 무작위 보행의 길이에$$ $관해서{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle A}$ $){\displaystyle \pi (A)}$에 대한 수렴 속도를 제한하므로, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 정점을 독립적으로 샘플링하는 것에 비해$$ $\pi {\displaystyle }$( $){\displaystystyle \pi (A)}$을 추정하는 더 효율적인 방법을 제공한다.

증명

정리를 증명하기 위해 우리는 세 개의 레마 뒤에 몇 가지 정의를 제공한다.

Let ${\displaystyle {\it {{w}_{xy}}}}$ be the weight of the edge ${\displaystyle xy\in E(G)}$ and let ${\textstyle {\it {{w}_{x}=\sum _{y:xy\in E(G)}{\it {{w}_{xy}.$$}}}}$ $\pi$ ($x$)로 표시$$ $:=$ ${\mathit{}}_{}$ $x{\mathit{}}_{}$ /${}_{}\mathit{}\sum \underset{}{}$ $\underset{}{y\mathit{}}$ $\underset{}{\in }$ $\underset{}{\mathit{V}}$ $\underset{}{}{\mathit{}}_{}$ ${\mathit{}}_{}$ ${\$$={\it {{w}_{x}/\sum _{y\in V}{\it {{w}_{y}}}}}}$. Let ${\textstyle {\frac {\mathbf {q} }{\sqrt {\pi }}}}$ be the matrix with entries${\textstyle {\frac {\mathbf {q} (x)}{\sqrt {\pi (x)}}}}$ , and let ${\textstyle N_{\pi ,\mathbf {q} }= {\frac$${\mathbf {q}{\\sqrt {\pi$}} $_{2$

Let $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{diag}}$(${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}\mathit{}}$) ${\$$}}}$과 $M{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( w ${\displaystyle {\mathit{i}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathit{}}$) ${\$ M$=({\it {{w}_{ij$ $\mathrm{Let}$ $P$ ($$r$$)$$= $P$ $E_{}$ r ${\$$PE\_$${r}$ 여기서$$ P ${\textstyle P}$은(는) ${확률적}_{}$ 매트릭스${}_{}$ E r = $\text{diag}$ $({}^{}$ ${{}_{}}^{}{{}_{}}^{}$ $){r}={\textstyle$ E_${diag}}(e^{r\mathbf{1$} $_$${A})$ 및$$ $\mathrm{r}$ $\ge$ 0 ${\textstyledyle\gq 0}$ 입니다$.$다음:

${\displaystyle P={\sqrt{D}S{\sqrt{D^-1}}\qquad{\text{and}}\qquad P(r)={\sqrt{DE_{r}}}}S(r){\sqr_{{r}D}D^{-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle D\sqrt{}}$ ${\displaystyle M}$ D ${\displaystyle 및\sqrt{}}$ ${\displaystyle \text{S}}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle D\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{E_{}}}$ r ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle D\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{E_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}${\$displaystyle S:={\sqrt{D}M{\sqrt{D}{\$d}{\$text 및 }S(r):$$={\sqrt{DE_{r}}M{\sqrt{DE_{r$ $S{\displaystyle }${\$displaystyle$S}와${\displaystyle }$S${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ $){\displaystyle$ S$(r)}$가 대칭이므로 실제 고유값을 갖는다.따라서 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle S(r)}$과 P${\displaystyle }$(${\displaystyle r)}$ ${\displaystyle P(r)}$의 고유값이 같으므로$$ $P$( r$$) ${\textstyle P(r)}$의 고유값이 실제적이다$$.$\lambda$( $r$) ${\textstyle \lambda$($r$$)}$과 $\lambda {}_{}$ ${2\mathrm{}}_{}$( r$$) ${\textstyle \lambda _{2}(r)}$을 각각$$$$ $P$( $r$) ${\textstyle P(r)}$의 고유값 중 첫째와 둘째가 되도록 한다.

For convenience of notation, let ${\textstyle t_{k}={\frac {1}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}\mathbf {1} _{A}(y_{i})}$, ${\textstyle \epsilon =\lambda -\lambda _{2}}$, ${\textstyle \epsilon _{r}=\lambda (r)-\lambda _{2}(r)}$, and let $1{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$1}은(는$)$ 모두 1 벡터가 된다$$.

보조정리1길

${\displaystyle \Pr \left[t_{k}-\pi (A)\geq \gamma \right]\leq e^{-rk(\pi (A)+\gamma )+k\log \lambda (r)}(\mathbf {q} P(r)^{k}\mathbf {1} )/\lambda (r)^{k}}$

증명:

마르코프의 불평등 때문에

${\displaystyle {\begin{aignedat}{2}\Pr \left[t_{k}\geq \pi (A)+\gamma \right]=\Pr[e^{rt_{k}}\geq e^{rk(\pi(A)+\gamma )}\leq e^{rk(\pi(A)+\gamma )}E_{\mathbf {q}{rt_}}}\end{aignedat}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {Eq\mathbf{}}_{}}$ ${\$확률 분포 $q{\displaystyle {}_{}}$$${\$displaystyle \mathbf {q}}$에 따라 $선택$한 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle x_{0},$${\displaystyle .}$ . .${\displaystyle x_{}}$ k$${1}, 모든 가능한 궤적을 합산하여 해석할 수 있기 때문이다$.$$x_{k$ 따라서:

${\displaystyle E_{\mathbf {q} }e^{rt}=\sum _{x_{1},x_{2}, ...,x_{k}e^{rt}\mathb {q}(x_{0})\Pi _{i=1}^{k}p_{x_{i-1}x_{i}}=\mathbf {q}P(r)^{k}\mathbf {1}}}$

두 결과를 종합하면 보조정리 효과가 입증된다.

보조정리2길

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq$ r$\leq 1}$의 경우$,$

${\displaystyle(\mathbf {q}P(r)^{k}\mathbf {1}/\lambda(r)^{k}\leq(1+r)N_{\pi ,\mathbf {q}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

증명:

$P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle P(r)}$과 $S{\displaystyle (r)}$ ${\displaystyle S(r)}$의 고유값이 같으므로$$,

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{q}P(r)^{k}\mathbf{1})/\lambda(r)^{k}&, =(\mathbf{q}P{\sqrt{DE_{r}^{-1}}}S(r)^{k}{\sqrt{D^{)}E_{r}}}\mathbf{1})/\lambda(r)^{k}\\&, \leq e^{r/2}{\frac{\mathbf{q}}{\sqrt{\pi}}}_{2}S(r)^{k}({\sqrt{\pi}}_{2}/\lambda(r)^{k}\\&, \leq e^{r/2}N_{\pi ,\mathbf{q}}\\&, \leq(.1+r)N_{\pi ,\mathbf {q} }\qquad \squad \square \end{aigned}}}$

보조정리3길

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ e ${\displaystyle r^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le ϵ}$ / ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$\leq$ e$^{r}-1\leq \epsilon /4}$과(와) 같은 실제 번호인$$ 경우$,$

${\displaystyle \log \lambda(r)\leq r\pi(A)+5r^{2}/\epsilon }$

증명 요약:

We Taylor는 $포인트$ r$$= $z$ ${\textstyle$ $\log \lambda$$(y)}$에 대해 로그 $\log$ $($$y$$)$를 확장하여$$ 다음을 얻으십시오.

${\displaystyle \log \lambda(r)=\log \lambda(z)+m_{z}(r-z)^{2}\int_{0}^{0}V_{z+(r-z)t}dt}$

Where ${\displaystyle m_{x}{\text{ and }}V_{x}}$ are first and second derivatives of ${\displaystyle \log \lambda (r)}$ at ${\displaystyle r=x}$. We show that ${\displaystyle m_{0}=\lim _{k\to \infty }t_{k}=\pi (A).$$}$ {$i_{}$) matrix r ${}_{}$ $3$ ) /$$4 ${\textstyle \epsilon _{r}\geq 3\epsilon /4}$ 매트릭스 조작을 통해$$ 입증한 다음, (i) 및 (i) 및 (i) 및 (${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$를 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{V}}$r ${\displaystyle ϵ}$ 10$$/ $style$ {\displaystyleq $10/\epsilon }$을 증명한다$$.

결과를 종합하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\log \lambda (r)=\log \lambda (0)+m_{0}r+r^{2}\int_{0}{0}^{0}{0}{rt)V_{rt\leq r\pi (A)+5r^{2}/epsiloned}}}}}}}$

줄 대 줄의 증거는 길만(1998년)[1]에서 찾을 수 있다.

정리증거

보조정리 2와 보조정리 3을 합치면, 우리는 그것을 얻는다.

${\displaystyle \Pr[t_{k}-\pi (A)\geq \gamma ]\leq(1+r){\pi,\mathbf {q}{}}}{-k(r\gamma -5r^{2}/\epsilon )}}}}}}}$

불평등 우측의 지수를 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 이차수로 해석하고$$ 표현을 최소화하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

$\displaystyle \Pr[t_{k}-\pi(A)\geq \gamma ]\leq(1+\gamma \엡실론 /10)N_{\pi ,\mathbf {q} }e^{-k\gamma ^{2}\epsilon /20}}}$

유사한 경계

$[\displaystyle \Pr[t_{k}-\pi (A)\leq -\gamma ]\leq(1+\gamma \엡실론 /10)N_{\pi ,\mathbf {q} }e^{-k\gamma ^{2}\epsilon /20}}}$

holds, 따라서 $설정{\displaystyle }$C =${\displaystyle 2}$ (${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle /}$ /${\displaystyle 10}$ ) ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {,}_{}}$ , ${\displaystyle {q\mathbf{}}_{}}${\$displaystyle C=2(1+\gamma \엡실론 /10)$$N_{\pi ,\mathbf{q}}}}}}$은(는) 원하는 결과를 제공한다$$.

사용하다

이 정리는 디랜덤화 연구의 무작위성 감소에 유용하다.확장자 보행에서 표본 추출은 무작위성 효율적인 표본 추출기의 예다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 독립$$ 샘플을 샘플링하는 데 사용되는 비트 수는 k ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\log$ n$}$인 반면$,$ 무한 확장기 제품군에서 샘플링하는 경우 이 비용은 ${\displaystyle n}$+ O${\displaystyle (k)}$ ${\displaystystyleg n+O(k$만 로그에 해당하며 e-filligether.예를 들어, 루보츠키-필립스-사르나크의 라마누잔 그래프를 효율적으로 구성할 수 있다.

참조