엘리아스 바살리고 바운드

Elias Bassalygo bound는 데이터 전송이나 통신 중 오류 보정을 위해 코딩 이론에 사용되는 수학적 한계다.

정의

$C$ ${\displaystyle$ $C$ $}$ 을(를) 길이 $n$ $n$ 의 $q$ $n$ $[q]^{n}$ ${\$ 의 부분 집합으로 한다 $C$ $[q]^{n}$ ^[1] $R$ ${\$ $displaystyle R$ $}$ 을 $R$ (를) $상대적$ 거리 및 Δ {\ $displaystystylee$ \delta $\delta$ $}$ 의 비율로 한다 $C$

B_{q}(y,\rho n)=\left\{x\in[q]^{n}\\\\\\\delta (x,y)\leqslant \rho n\right\}}

be the Hamming ball of radius $\rho n$ centered at $y$ . Let ${\text{Vol}}_{q}(y,\rho n)= B_{q}(y,\rho n)$ be the volume of the Hamming ball of radius $\rho n$ . It is obvious that the volume of aHamming Ball은 번역불가,즉y . {\ $displaystyle$ y.}에 $y.$ $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ 하다 $.$ 특히 $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ B $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ ( $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ , $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ = $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ ) = $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ B $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ ( $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ , $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ ) $|B_{q}(y,\rho n)|=|B_{q}(0,\rho n)|.$ . ${\displaysty B_{q}(y,\rho n)$ = $B_{q}(0,\rho$ n) $.}$

충분한 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 을 $n$ 를) 사용하여 속도 $R$ $R$ 및 상대 $R$ 거리 $\delta$ ${\displaystyle \delta$ }은 $($ 는) Elias-Bassalygo 바인딩을 충족한다 $\delta$ .

R\leqslant 1-H_{q}(J_{q}(\delta )+o(1),

어디에

H_{q}(x)\equiv _{\text{def}-x\log_{q-1}\log({x \over{q-11}\right)-(1-x)\log_{q}{{-x)}}}}}}

q-ary 엔트로피 함수와

J_{q}(\delta )\equiv _{\text{def}\좌측(1-{1 \1 \over q}\우측)\좌측(1-{1-{sqrt{1-{q-1}:{delta \2}}\우측)

존슨 바운드와 관련된 함수다.

증명

Elias-Bassalygo의 구속을 입증하려면 다음 Lemma부터 시작하십시오.

보조정리.

C\subseteq [q]^{n}

C\subseteq [q]^{n}

[

C\subseteq [q]^{n}

{\

및

0\leqslant e\leqslant n

0\leqslant e\leqslant n

e

0\leqslant e\leqslant n

0\leqslant e\leqslant n

에 대해 적어도 반경

e

e

e

의 해밍 볼이 있다

0\leqslant e\leqslant n

{\frac {C {\text{Vol}_{q}(0,e)}{q^{n}}}}}}

그 안에 있는 암호어들이 들어 있는 암호자.

보조마 증거.Randomly pick a received word

y\in [q]^{n}

and let

B_{q}(y,0)

be the Hamming ball centered at

y

with radius

e

. Since

y

is (uniform) randomly selected the expected size of overlapped region

|B_{q}(y,e)\cap C|

|B_{q}(y,e)\cap C|

(

|B_{q}(y,e)\cap C|

, e

|B_{q}(y,e)\cap C|

)

displaystyle B_{q}(y,e)\cap

C}은

(

는

|B_q(y,e) \cap C|

) 입니다.

{\frac {C {\text{Vol}_{q}(y,e)}{q^{n}}}}}

이 값은 크기의 예상 값이기 때문에 다음과 같은

y

y

y

이(가) 하나 이상 있어야 한다.

B_{q}(y,e)\cap C \geqslant {{\c {\text{Vol}}{q^{n}}}={C {\text{Vol}}}{e}}}}{c}}}{q^{n}}}}}}}}}}}}}}}

그렇지 않으면 기대치가 이 값보다 작아야 한다.

이제 우리는 엘리아스-바살리고의 구속을 증명한다. $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ = $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ ( $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ - 1 $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ Lemma에 다음과 $e=nJ_{q}(\delta )-1.$ 같은 $B$ $B$ 코드 단어를 $B$ 가진 해밍 볼이 존재한다.

{\displaystyle B\geqslant {{C {\text{Vol}(0,e)}{q^{n}}}}}} 이상

존슨 바운드에 의해 $B\leqslant qdn$ 는 B $B\leqslant qdn$ $B\leqslant qdn$ d $B\leqslant qdn$ {\ $displaystyle$ B\ $leqslant qdn}$ 을(를) 가지고 있다 $B\leqslant qdn$ 그러므로,

C \leqslant qnd\cdot {{q^{n}}{{cd}{{n}}}}{{n}(1-H_{q})(\delta )+o(1) 이상 \{\cdata{n}}}

두 번째 불평등은 해밍 공의 부피에 대한 하한에서 뒤따른다.

{\text}_{q}\좌측(0,\좌측\lfloor {d-1}{2}}\우측\rfloor \우측)\geqslant q^{{}H_{q}\왼쪽({\frac {\delta }{2}}\오른쪽)n-o(n)}}

$d=2e+1$ = 2 $d=2e+1$ + $d=2e+1$ ${\displaystyle d=2e+1},$ $\delta ={\tfrac {d}{n}}$ = $\delta ={\tfrac {d}{n}}$ ${\$ 을 $d=2e+1$ (를) 넣으면 두 번째 불평등이 나타난다 $\delta ={\tfrac {d}{n}}$ .

그러므로 우리는 가지고 있다.

R={\log _{q}{C} \over n}\leqslant 1-H_{q}(J_{q})(\delta )+o(1)

참고 항목

참조

^ 길이 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 의 각 $q$ ${\displaystyle$ $q$ $}$ -ary $q$ 블록 코드는 ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ n ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ ${\displaystyle {A}_{$ $q}^{n$ $}}}$ 의 문자열의 하위 집합이며 $n$ ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ , 여기서 알파벳 $집합$ ${\mathcal {A}}_{q}$ q ${\mathcal {A}}_{q}$ {\ $displaystystyle$ { $A} 요소$ 는 $q$ ${\displaystycal$ $}$ 이다 ${\mathcal {A}}_{q}$ .

Bassalygo, L. A. (1965), "New upper bounds for error-correcting codes", Problems of Information Transmission, 1 (1): 32–35

Claude E. Shannon, Robert G. Gallager; Berlekamp, Elwyn R. (1967), "Lower bounds to error probability for coding on discrete memoryless channels. Part I.", Information and Control, 10: 65–103, doi:10.1016/s0019-9958(67)90052-6

Claude E. Shannon, Robert G. Gallager; Berlekamp, Elwyn R. (1967), "Lower bounds to error probability for coding on discrete memoryless channels. Part II.", Information and Control, 10: 522–552, doi:10.1016/s0019-9958(67)91200-4

[1] 길이 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 의 각 $q$ ${\displaystyle$ $q$ $}$ -ary $q$ 블록 코드는 ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ n ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ ${\displaystyle {A}_{$ $q}^{n$ $}}}$ 의 문자열의 하위 집합이며 $n$ ${\mathcal {A}}_{q}^{n},$ , 여기서 알파벳 $집합$ ${\mathcal {A}}_{q}$ q ${\mathcal {A}}_{q}$ {\ $displaystystyle$ { $A} 요소$ 는 $q$ ${\displaystycal$ $}$ 이다 ${\mathcal {A}}_{q}$ .

[1]

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