탄성계수

화학 반응 속도는 온도, pH, 반응제, 제품 농도 및 기타 효과와 같은 많은 다른 요인에 의해 영향을 받는다. 이러한 요인이 반응률을 변화시키는 정도는 탄성 계수로 설명된다. 이 계수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varepsilon_{S}^{v}={\frac {\partial v}{\partial S}{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln v}{\partial \ln S}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 반응 속도를 나타내고$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 기질 농도를 나타낸다$$. 정의의 부분파생상품은 다른 모든 요인을 일정하게 유지하면서 요인 S의 변화에 대해 탄성을 측정한다는 것을 나타낸다. 가장 일반적인 요인은 기판, 제품 및 이펙터를 포함한다. 계수의 스케일링은 치수가 없고 인자의 반응률과 크기를 측정하는 데 사용되는 단위와 독립적이라는 것을 보장한다. 탄성계수는 대사조절 분석의 필수적인 부분으로 1970년대 초반에 에든버러의 헨리크 카세르와 번즈^[1], 베를린의 하인리히와 라포포포트에^[2] 의해 도입되었을 가능성이 있다.

탄성 개념은 다른 작가들, 특히 미시간 주의 새비지아우와^[3] 에드먼턴의 클라크에^[4] 의해서도 설명되어 왔다. 1960년대 후반에 마이클 새비지는^[3] 생화학적 운동학의 비선형성에 대한 근사치를 위해 힘-법칙 확장을 이용하는 생화학적 시스템 이론이라는 혁신적인 접근법을 개발했다. 이 이론은 대사 통제 분석과 매우 유사하며 세포 네트워크에 있는 다른 피드백과 다른 규제 구조의 특성을 연구하는데 매우 성공적이고 광범위하게 사용되어 왔다. 분석에 사용된 멱-법률 확장은 탄성 계수와 동등한 운동 순서라는 계수를 호출한다.

1970년대 초 브루스 클라크는^[4] 화학 네트워크의 동적 안정성을 분석하는 정교한 이론을 개발했다. 그의 분석의 일부로서 클라크는 또한 운동 명령의 개념과 Savageau의 세력법 확대와 다소 비슷한 힘법 근사치를 소개했다. 클라크의 접근방식은 극한 전류(생화학 시스템에서는 초등 모드라고도 함)라고 불리는 네트워크의 특정 구조적 특성에 크게 의존했다. 클라크의 운동 순서 역시 탄성과 맞먹는다.

서로 다른 집단이 독립적으로 동일한 개념을 도입했다는 사실은 탄성성, 즉 그 등가 운동 순서들이 복잡한 생화학적 또는 화학적 시스템의 분석에서 가장 기본적인 개념일 가능성이 높다는 것을 암시한다.

탄성 계수 계산

탄성 계수는 숫자 또는 대수적으로 다양한 방법으로 계산할 수 있다.

탄성계수의 대수적 계산

부분파생상품의 관점에서 탄력성의 정의를 볼 때, 예를 들어 독립변수와 규모에 의해 요금법을 구분하여 임의의 요금법의 탄력성을 결정하는 것이 가능하다. 예를 들어 다음과 같은 대량 작용률 법칙에 대한 탄력성 계수:

${\displaystyle v=k\ S_{1}^{n_{1}{1}S_{2}^{n_{2}}}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 반응 속도 상수$,$ k {\$displaystyle$ S_${i}$은 반응에$$ 관련된 ith 화학종이며 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ ith$$ 반응 순서, $elasticity{\displaystyle {}_{}^{}}$ S ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\$${{v}}}$은(는) $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대해 요금법을 구분하고 스케일링을 통해 얻을 수 있다$$.

${\displaystyle \varepsilon _{S_{1}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial S_{1}}}{\frac {S_{1}}{v}}=n_{1}\ k\ S_{1}^{n_{1}-1}S_{2}^{n_{2}}{\frac {S_{1}}{k\ S_{1}^{n_{1}}S_{2}^{n_{2}}}}=n_{1}}$

그것이 바로 집단행동률법의 탄성이 종의 반응 순서와 같다는 것이다.

또한 탄력성은 Michaelis-Menten 요금법과 같은 더 복잡한 요금법에 대해 도출될 수 있다. 만약

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }{K_{m}+S}}}$

그러면 보다 쉽게 보여질 수 있다.

${\displaystyle \varepsilon _{S}^{v}={\frac {K_{m}{K_{m}+S}}}}$

이 방정식은 탄력성이 (질량 작용 법칙과 마찬가지로) 상수가 아니라 반응제 농도의 함수가 될 수 있다는 생각을 예시한다. 이 경우 탄성은 낮은 반응제 농도(S)에서는 단결에 접근하고 높은 반응제 농도에서는 0에 접근한다.

되돌릴 수 있는 Michaelis-Menten 요금법의 경우:

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }/{m1}(S-P/K_{\text{eq}})}{1+S/K_{m1}+P/K_{m2}}:$

where ${\displaystyle V_{\max }}$ is the forward ${\displaystyle V_{max}}$, ${\displaystyle K_{m1}}$ the forward ${\displaystyle K_{m}}$, ${\displaystyle K_{eq}}$ the equilibrium constant and ${\displaystyle K_{m2}}$ the reverse ${\displays$$Tyle K_{m$ 두 개의 탄성 계수를 계산할 수 있다. 하나는 S에 대한 것이고 다른 하나는 P에 대한 것이다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \varepsilon_{S}^{v}={\frac {1}{1}{1-\Gamma /{eq}}}-{\frac {S/K_{m1}}}{1+S_{m1}+P/K_{m2}}:$

${\displaystyle \varepsilon_{P}^{v}={\frac {-\감마 /{eq}{1-\감마 /K_{eq}}}}-{\frac {P/K_{m1}{m1}+P/K_{m2}}:}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 질량-작용비, $즉{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \gamma }$= ${\displaystyle P}$/ S ${\displaystyle \Gamma$= P$/S}$이다$.$ P = 0이면 방정식은 되돌릴 수 없는 Michaelis-Menten 법칙의 경우로 줄어든다는 점에 유의한다.

마지막 예로서 힐 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle v={\frac {V_{\max}(S/K_{s})^{n1}{1+(S/K_{s}}^{n}}}}}}}:{n}}}}}}}$

여기서 n은 힐 계수, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 반포화 계수(cf)이다$$. Michaelis-Menten 비율 법칙)에 따라 탄력성 계수는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \varepsilon _{S}^{v}={\frac {n}{1+(S/K_{s}}}}^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}$

낮은 S에서는 탄성이 n에 접근한다는 점에 유의하십시오. 높은 S에서 탄성은 0에 접근한다. 이것은 탄성이 0과 힐 계수 사이에 경계로 되어 있다는 것을 의미한다.

로그 공간에서 차별화

컴퓨터 대수법에 의한 대수적 계산에 순응할 수 있는 접근법은 로그 공간에서 구별하는 것이다. 탄력성은 로그로 정의할 수 있으므로, 다음과 같다.

${\displaystyle \varepsilon _{S}^{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln S}}}}$

로그 공간을 차별화하는 것은 명백한 접근법이다. 로그 분화는 로그 분화 규칙을 정의할 수 있는 매티매틱스나 메이플과 같은 대수 소프트웨어에서 특히 편리하다.^[5]

탄성계수의 수치계산

탄성계수는 또한 시뮬레이션 소프트웨어에서 종종 수행되는 수치로 계산될 수 있다.

탄성 행렬

밀폐되지 않은 탄성은 종종 탄성 행렬이라고 불리는 행렬 형태로 묘사된다. m 분자종과 n개의 반응을 가진 네트워크가 주어지면 탄력성 매트릭스는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial S_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial S_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial S_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial S_{m}}}\end{bmatrix}}.}$

참조

추가 읽기

• Cornish-Bowden, Athel (1995). Fundamentals of Enzyme Kinetics. Portland Press.
• Fell D. (1997). Understanding the Control of Metabolism. Portland Press.
• Heinrich, Reinhart; Schuster, Stefan (1996). The Regulation of Cellular Systems. Chapman and Hall.