돔 수

그래프 이론에서 $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle =}$ ( $V$,${\displaystyle E}$) { $displaystyle$ G$$$=$ ( $V$, E )$$} の$$ atic in$in{\displaystyle }$ 、 V$$into$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ \ $displaystyle$ V _ {$1$}$$、 $V{\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle$ V _ {$$}$$dis 、 ${\displaystyle V_{}}$ K$$\ $displaystyle$ V _ { } } such_i ${\displaystyle {}_{}}$ dis $v{\displaystyle {}_{}}$ dis dis in 。오른쪽 그림은 그래프의 돔형 파티션을 나타내고 있습니다.여기서 지배적인 $세트{\displaystyle {}_{}}$ $({$은 노란색 정점으로, $({$는 녹색 정점으로, $({$ V_${3$}})는$$ 파란색 정점으로 구성됩니다.

돔 수는 돔 파티션의 최대 크기, 즉 분리 지배 집합의 최대 수입니다.그림 속의 그래프는 돔 숫자 3을 가지고 있다.크기 3의 돔 파티션을 제시했기 때문에 돔 번호가 적어도 3인 것을 알 수 있습니다.돔 수가 최대 3인지 확인하기 위해 먼저 간단한 상한을 검토합니다.

상한

$그래프{\displaystyle }$G의 최소 차수를 ${\({$$displaystyle\$$delta$$\})$로 합니다.G$({displaystyle$ G$})$의 돔 수는 ${\displaystyle \mathrm{최대}}$ ${\displaystyle +}$+ 1$({displaystyle$ \$delta +$1)입니다.이것을 확인하려면 , $각도{\displaystyle }$ $「{displaystyle\delta$의 정점$v{displaystyle$ v$}$를 고려합니다$.$ {\$displaystyle$ N$$}은$$v{$displaystyle$v$$}와 그 이웃으로 $구성$됩니다.(1) 각 지배 $집합{\displaystyle {}_{}}$ $({$ V_$$${i})$는 N$(displaystyle$ N$)$에 적어도 하나의 정점을 포함해야 하며, (2) N$({displaystyle$N})의 각 정점은 최대 하나의 지배 $집합{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})$$에 포함되어야 한다는 것을 알고 있습니다.${\displaystyle 따라서}$ N ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle 1}$\ $displaystyle$ N = \$displays$ + $1$}개의$$ 분리된 지배 세트가 있습니다.

그림의 그래프는 최소도 ${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ $=$ 2(\$displaystyle \displays$ $=$$2$)이므로 돔 번호는 최대 3입니다.따라서 우리는 그것의 돔 번호가 정확히 3이라는 것을 보여주었습니다. 이 그림은 최대 크기의 돔 파티션을 보여줍니다.

하한

그래프에 고립된 정점이 없는 경우($즉{\displaystyle }$, $"\displaystyle \delta$} $$1 1), 돔 번호는 2 이상입니다.이를 확인하기 위해 (1) 고립된 정점이 없는 경우 약한 2색상은 돔형 분할이며 (2) 모든 그래프는 약한 2색상을 가진다.또는 (1) 최대 독립집합이 지배집합이고 (2) 최대 독립집합이 고립된 정점이 없는 경우에는 최대 독립집합이 지배집합이다.

오른쪽 그림은 약한 2색상의 2색 파티션입니다.이것도 사이즈 2의 돔 파티션입니다.어두운 노드는 지배적인 세트이고 라이트노드는 다른 지배적인 세트입니다(라이트노드는 최대 독립적인 세트를 형성합니다).자세한 내용은 약한 색상을 참조하십시오.

계산의 복잡성

크기가 1인 돔 파티션을 찾는 것은 간단한 일입니다. ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ $=$ V {\$displaystyle V_{1}=$ 크기가 2인 돔 파티션을 찾는(또는 존재하지 않는다고 판단하는) 작업은 간단합니다. 분리된 노드가 있는지 확인하고, 없으면 취약한 2개의 노드를 찾습니다.

그러나 최대 크기의 돔 파티션을 찾는 것은 계산적으로 어렵습니다.구체적으로는, 다음의 판정 문제($도메인$수 문제)는, NP-완전입니다.$그래프{\displaystyle }$G와 $정수{\displaystyle }$K($도메인$$$수 K$)$가 주어졌을 때$,$ G($도메인$ 수$G$)의 도메인$$수가 K($도메인$ 수 K$)$ $이상$인지 아닌지를 판정합니다.따라서, 도메인 수를 판정하는 문제가 발생합니다.주어진 그래프의 r은 NP-hard이며 최대 크기의 돔 파티션을 찾는 문제도 NP-hard입니다.

로그 근사 ^[1]보증의 다항식 시간 근사 알고리즘이 있습니다. 즉, 크기가 최적${\displaystyle (\log v}$ V$)$ $계수$ O(\$displaystyle$O(\$log$ V$))$ 내에$$ 있는 돔 파티션을 찾을 수 있습니다.

그러나 그럴듯한 복잡성-이론 가정 하에서, 하위 대수 근사 ^[1]인자를 가진 다항식 시간 근사 알고리즘은 없다.일정한 ϵ 을에(1− ϵ)ln ⁡ V{\displaystyle(1-\epsilon)\ln V}은 근사 요인이 되고domatic 파티션에 대한 더욱 상세하게 다차 함수 시간 근사 알고리즘;0{\displaystyle \epsilon>0}은 NP에 모든 문제가 약간super-polynomial 시간에 O(통나무 ⁡ 것에 대해 해결될 수 있다는 거죠g⁡ n$)(\$ n$^{O(\log \log$ n$)\}).$

유사한 개념과의 비교

돔 파티션

정점을 분리된 지배 집합으로 분할합니다.돔 수는 이러한 집합의 최대 수입니다.

정점 색칠

정점을 분리된 독립 집합으로 분할합니다.색수는 이러한 집합의 최소 수입니다.

클리크 파티션

정점을 분리된 클리어로 분할합니다.보형 그래프의 정점 색상과 같습니다.

가장자리 색칠

모서리를 분리 일치로 분할합니다.가장자리 색수는 이러한 세트의 최소 수입니다.

G = (U v V, E)를 격리된 노드가 없는 초당 그래프라고 하자. 모든 가장자리는 u ∈ U 및 v v V인 {u, v} e E 형식이다.그러면 {U, V}은(는) 정점 2-색상과 크기 2의 돔 파티션이 모두 됩니다. 집합 U와 V는 독립적인 지배 집합입니다.G의 색수는 정확히 2입니다.정점 1색상은 없습니다.G의 돔 번호는 최소 2입니다.더 큰 돔 파티션이 있을 수 있다.예를 들어, 임의의 n µ 2에 대한 완전한 초당 그래프_n,n K는 돔 번호 n을 가진다.

메모들

레퍼런스

• A1.1Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1045-5: GT3, 페이지 190
• 를 클릭합니다Cockayne, E. J.; Hedetniemi, Stephen T. (1975), "Optimal domination in graphs", IEEE Transactions on Circuits and Systems, CAS-22 (11): 855–857, doi:10.1109/TCS.1975.1083994, MR 0384608.