창의적이고 생산적인 세트

계산가능성 이론에서 생산적 집합과 창조적 집합은 수학 논리학에서 중요한 응용을 갖는 자연수 집합의 유형이다.소어(1987년) 로저스(1987년) 등 수학 논리 교과서의 표준 주제다.

정의 및 예제

이 글의 나머지 부분에 대해서는 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ i ${\$이 계산 가능한 함수의 허용 가능한 번호와 W가_i 반복적으로 열거된 집합의 해당 번호라고 가정한다.

A set A of natural numbers is called productive if there exists a total recursive (computable) function ${\displaystyle f}$ so that for all ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, if ${\displaystyle W_{i}\subseteq A}$ then ${\displaystyle f(i)\in A\setminus W_{i}.}$$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수를 $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle A$의 생산 함수라고 한다$$$.$$}$

자연수의 집합 A를 재귀적으로 열거하고 그 보완적인 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle \mathb {N} \setminus A}$이(가) 생산적이면$$ creative라고 한다.그러나 모든 생산적인 집합이 아래에 예시된 바와 같이 반복적으로 열거할 수 있는 보완물을 가지고 있는 것은 아니다.

원형의 크리에이티브 세트는 정지 문제를 나타내는 K${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle i}$∣ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K=\{i\mid i\in W_{i}\}}}}$이다$.$$K{\displaystyle \stackrel{\text{'}}{}}$ =${\displaystyle }${${\displaystyle i\mid }$ i complement ${\displaystyle W_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bar${K$}=\{i\mid$ i$\not \in W_{i}\}\}}$은(는) 생산적인 함수 f(i) = i(ID 함수)로 생산적이다$$.

이를 확인하기 ${\displaystyle 위해\stackrel{}{}}$ 생산함수의 정의를 적용하고 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ K$'{\$ i$\in {\bar$ {$K}$과 $i$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ :

• ${\displaystyle i\in {\bar {K}}}$: suppose ${\displaystyle i\in K}$, then ${\displaystyle i\in W_{i}}$, now given that ${\displaystyle W_{i}\subseteq {\bar {K}}}$ we have ${\displaystyle i\in {\bar {K}}}$, this leads to a contradiction.그래서 $나$는$'{\$
• ${\displaystyle i}$w ${\displaystyle W_{}}${\$displaystyle$ i$\not \in W_{i$ : $사실{\displaystyle }$ i${\displaystyle w_{}}$ W i$${\$displaystyle$ i$\in W_{i$ 그렇다면 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaysty i\in$ K$\}$은 사실이지만, 이전 포인트에서는 그 반대되는 것을 증명했다.그래서 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

특성.

생산적인 집합 A는 재귀적으로 열거될 수 없다. 왜냐하면 A가 R. set W에_i 있는 모든 숫자를 포함할 때마다 다른 숫자를 포함하며, 더욱이 지수 i에서 그러한 숫자의 예를 생산하는 효과적인 절차가 있기 때문이다.마찬가지로, 어떤 창조적 집합도 취소할 수 없다. 왜냐하면 이것은 그것의 보완물인 생산적 집합이 반복적으로 열거된다는 것을 의미하기 때문이다.

생산적인 세트는 주입적이고 총체적인 생산적인 기능을 가지고 있다.

마이힐(1955년)으로 인한 다음의 이론은 어떤 $의미$에서 모든 창조적인 세트는 K ${\displaystyle K}$과 같고 모든 생산적인 세트는 K${\$과 $같다는{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 것을 보여준다$.$^[1]

정리.P를 자연수의 집합으로 하자.다음은 이에 해당한다.

• P는 생산적이다.
• $'{\$는 P로 1 축소 가능.
• $'{\$은(는) P로 축소할 수 있다.

정리.C를 자연수의 집합으로 하자.다음은 이에 해당한다.

• C는 창의적이다.
• C는 1-완전함
• C는 K에 대해 반복적으로 이형화된다. 즉, 자연수에 f(C) = K와 같은 총 계산 가능한 바이어싱 f가 있다.

수학적 논리에서의 응용

효과적인 자명제에서 모든 증명 가능한 문장 집합은 항상 반복적으로 열거할 수 있는 집합이다.시스템이 1차 산술처럼 적절히 복잡하다면, 시스템 내 참 문장의 괴델 숫자의 집합 T는 생산적인 집합이 될 것이며, 이는 W가 반복적으로 열거할 수 있는 참 문장의 집합일 때마다 W에 없는 참 문장이 최소한 하나 이상 존재한다는 것을 의미한다.이것은 괴델의 첫 번째 불완전성 정리를 엄격하게 증명하는 데 사용될 수 있는데, 왜냐하면 재귀적으로 열거할 수 있는 세트는 생산적이지 않기 때문이다.세트 T의 보어는 재귀적으로 열거되지 않을 것이며, 따라서 T는 보어가 창의적이지 않은 생산적인 세트의 예다.

역사

포스트(1944)의 세미날짜 논문은 그가 크리에이티브 세트라고 부르는 개념을 정의했다.반복해서 말하지만, 열거된 모든 1-place 계산 가능한 부분함수의 대각선을 취하여 1을 추가하는 함수$$ $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle ]}$ = [ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty d(x)=[x](x)+1}$의 영역으로 정의되고 있는$$ 집합 $K{\displaystyle }$ ${\displaystysty K}$은 창의적인 집합의 예다.^[2]포스트는 괴델의 불완전성 정리를 그의 창조적인 세트를 이용하여 한 버전을 주었는데, 원래 괴델은 어떤 의미에서든 자유롭게 번역할 수 있는 문장을 "나는 이 자명론에서 증명할 수 없다"고 구성했다.그러나 괴델의 증거는 참된 문장의 개념으로부터 효과가 없었고, 오히려 일관된 이론의 개념을 사용함으로써 제2의 불완전성 정리를 하게 되었다.Post가 불완전성의 그의 버전을 완성한 후에 그는 다음과 같이 덧붙였다.

"수학적 명제의 고정되고 잘 정의된 본체에 대해서도 수학적인 사고는 본질적으로 창조적이며 남아야 한다는 결론은 피할 수 없다."^[2]

대각선함수 $d{\displaystyle (x}$ ) ${\displaystyle$ d$(x)}$을(를) 사용하여 정의되는$$ 통상적인 크리에이티브 $세트{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$는 자체적인 역사적 발전이 있다$$.앨런 튜링은 튜링 기계에 관한 1936년 기사에서 ${\displaystyle \Phi}$ 함수를$$ 계산하는 범용 컴퓨터의 존재를 보여주었다.$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle$\Phi$}$ 함수는 $ph$(${\displaystyle w}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Phi(w,x)=}($$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$에 의해 코드화된 명령을 입력 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty x$}에 적용한 결과)$$$$로 정의되며$$ 계산 가능한 $부분함수{\displaystyle }$ f ${\p$ f$}$이 제공된다는$$ 점에서 보편적이다.${\displaystyle f(x)=$$\Phi (e,x)}$ for all ${\displaystyle x}$ where ${\displaystyle e}$ codes the instructions for ${\displaystyle f}$. Using the above notation ${\displaystyle \Phi (e,x)=[[e]](x)}$, and the diagonal function arises quite naturally as ${\displaystyle d(x)=[$$[$$x](x)+1}$ 궁극적으로 이러한 사상은 계산 가능한 부분함수의 수학적 개념이 효과적으로 계산 가능한 부분함수의 올바른 공식화라고 하는 교회의 논제와 연결되는데, 이는 증명되거나 반증될 수 없다.Church는 람다 미적분학, 이상화된 컴퓨터 튜링, 그리고 나중에 그의 접근법에 에밀 포스트를 사용했는데, 모두 동등하다.

데보라 요셉과 폴 영(1985)은 계산 복잡성 이론에서 유사한 개념인 다항식 창의성을 공식화하여 NP-완전 집합의 이형성에 대한 베르만-하트마니스의 추측에 잠재적인 백배수를 제공하는 데 사용했다.

메모들

참조

• 1982년 도버 출판사에서 재인쇄했다Davis, Martin (1958), Computability and unsolvability, Series in Information Processing and Computers, New York: McGraw-Hill, MR 0124208.
• Enderton, Herbert B. (2010), Computability Theory: An Introduction to Recursion Theory, Academic Press, ISBN 978-0-12-384958-8.
• Joseph, Deborah; Young, Paul (1985), "Some remarks on witness functions for nonpolynomial and noncomplete sets in NP", Theoretical Computer Science, 39 (2–3): 225–237, doi:10.1016/0304-3975(85)90140-9, MR 0821203
• Kleene, Stephen Cole (2002), Mathematical logic, Mineola, NY: Dover Publications Inc., ISBN 0-486-42533-9, MR 1950307. 1967년 원본 Wiley, MR0216930의 재인쇄.
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• Post, Emil L. (1944), "Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problems", Bulletin of the American Mathematical Society, 50 (5): 284–316, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08111-1, MR 0010514
• Rogers, Hartley, Jr. (1987), Theory of recursive functions and effective computability (2nd ed.), Cambridge, MA: MIT Press, ISBN 0-262-68052-1, MR 0886890.
• Soare, Robert I. (1987), Recursively enumerable sets and degrees: A study of computable functions and computably generated sets, Perspectives in Mathematical Logic, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-15299-7, MR 0882921.