대응물(통계)

통계에서 유도 순서 통계량이라고도 하는 대응물의 개념은 다른 무작위 표본의 해당 값에 따라 무작위 표본의 구성원을 정렬할 때 발생한다.

Let (X_i, Y_i), i = 1, . . . n은 이변량 분포의 랜덤 표본이다.표본이 X에_i 의해 정렬된 경우, X와_r:n 관련된 Y 변수는 Y로_[r:n]^th 표시되며 r 순서 통계량의 조합물이라고 불린다.

누적분포함수 F(x,y)와 그 확률밀도함수 F(x,y)를 갖는 상위 이바리테이트 분포가 1${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm{rn}}$ ${\$$displaystyle$ $Y_{[r:n]}$에 대한^th$$ r $컨코메디언트{\displaystyle {}_{}}$ Y${\displaystyle {[r}_{}}$: n${\displaystyle {]}_{}}$의 확률밀도함수가 1$n {\leq r\leq$ r\$n}$이라고 가정하자.

$f_{\displaystyle f_{Y_{[r:n]}}(y)=\int _{-\infit }^{{-\inf_{Y\mid X}(y x)_{X_{r:n}}}\mathrm {d}x}$

모두$({\displaystyle {Xi}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle(X_{i})$인 경우$Y_{i})}$ are assumed to be i.i.d., then for ${\displaystyle 1\leq r_{1}<\cdots <r_{k}\leq n}$, the joint density for ${\displaystyle \left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)}$ is given by

$f_{\displaystyle f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}}(y_{1},\cdots ,y_{k})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{x_{k}}\cdots \int _{-\infty }^{x_{2}}\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i} x_{i})f_{X_{r_{1}:n},\cdots,X_{r_{k}}}}(x_{1},\cdots,x_{k})\mathrm {d}x_{1}\cdots \mathrmatrm {d}x_x_x_x_{{{d}}}}.$

That is, in general, the joint concomitants of order statistics ${\displaystyle \left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)}$ is dependent, but are conditionally independent given ${\displaystyle X_{r_{1}:n}=x_{1},$$\cdots,X_{r_{k}:n}=x_{k}}$은(는) 모든 k에 대해$$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle x_{}}$ x k ${\$공동결합제의 조건부 분포는 한계분포에서의 공식을 비교함으로써 위의 결과로부터 도출할 수 있다.

$f_{\displaystyle f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\mid X_{r_{1}:n}\cdots X_{r_{k}:n}}(y_{1},\cdots ,y_{k} x_{1},\cdots ,x_{k})=\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i} x_{i}})$

참조

• David, Herbert A.; Nagaraja, H. N. (1998). "Concomitants of Order Statistics". In Balakrishnan, N.; Rao, C. R. (eds.). Order Statistics: Theory & Methods. Amsterdam: Elsevier. pp. 487–513.
• ——; Nagaraja, H. N. (2003). Order statistics. Wiley Series in Probability and Statistics (3rd ed.). Chichester: John Wiley & Sons. p. 144. ISBN 0-471-38926-9. Zbl 1053.62060.
• Mathai, A. M.; Haubold, Hans J. (2008). Special Functions for Applied Scientists. Springer. ISBN 978-0-387-75893-0.