전위 계수

전기 공학에서 전위 계수는 전하와 정전기 전위(전기 전위) 사이의 관계를 결정하는데, 이는 순전히 기하학적인 것이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

여기서 Q는_i 도체 i의 표면 전하다. 전위 계수는 p_ij. φ_i 계수를 i번째 도체의 전위로 정확하게 판독해야 하며, 따라서 "${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\$는 도체 2의 전하 1로 인한 p이다.

${\displaystyle p_{ij}={\partial \pi_{i}\over \partial Q_{j}}=\left({\partial \pi_{i}over \partial Q_{j}\right)__________________________.{Q_{1}, ...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

참고:

1. p_ij = p_ji, 대칭에 의한
2. p는_ij 요금에 의존하지 않는다.

대칭의 물리적 내용은 다음과 같다.

도체 j에 대한 충전 Q가 도체 i를 잠재적 φ으로 가져오는 경우, i에 배치된 것과 동일한 충전으로 j를 동일한 전위 φ으로 가져올 것이다.

일반적으로 이 계수는 콘덴서와 같은 도체 시스템을 설명할 때 사용된다.

이론

도체_i j = 1, 2, ..., n:

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{1}{4\pi \epsilon_{0}\int_{S_{j}}}{\frac {\sigma _{j_{R_{ji}}}}}}}}}}}}}}}}{\mbox{{{{{{i=1, 2,n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 R_ji = r_i - r_j , 즉, 도체의 면적 요소 da에서_jj 특정 지점 r까지의_i 거리는 일반적으로 표면에 균일하게 분포되지 않는다. j-th 도체 표면의 한 위치에서 실제 전하 밀도가 평균과 어떻게 다른지 설명하는 f 인자를 소개한다_j.

${\displaystyle {\frac {\jma _{j}{\langle \langle \{j}}}$

또는

${\displaystyle \sigma _{j}=\langle \sigma _{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.}$

그러면.

${\displaystyle \phi_{i}=\sum{j=1}^{n}{\frac{Q_{j}}{0}S_{j}}}\int_{S_{{j}}}{S_{f_{j}da_{R_{j}}}}}}}}}}}}}}}.}$

$\int {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {S{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ f ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ d $a$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ i ${\$${$j}}}{$R_{j$$}}}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle {분포}_{}}$와는 독립되어 있음을$$ 알 수 있다$.$

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int_{S_{j}}}{\frac {f_{j}da_{R_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{(i = 1, 2, ..., n)}}}.}$

예

이 예에서는 2-컨덕터 시스템의 캐패시턴스를 결정하기 위해 전위 계수 방법을 사용한다.

2-전도체 시스템의 경우, 선형 방정식의 시스템은

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{1}\\pi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}.}$

콘덴서에서 두 도체의 전하가 동일하고 반대인 경우: Q = Q₁ = -Q₂. 그러므로

${\displaystyle {\displaysty}\pi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{매트릭스},}$

그리고

${\displaystyle \Delta \pi =\pi _{1}-\pi _{1}-\pi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21}Q.}$

그러므로,

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

관련 계수

선형 방정식의 배열

${\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{(i = 1,2,...n)}}}}$

에 역행할 수 있다.

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{{{i = 1,2,...n)}}}}}$

여기서 i = j를 가진 c를_ij 용량의 계수라고 하고 i ≠ j를 가진 c를_ij 정전유도의 계수라고 한다.^[1]

동일한 전위로 고정된 두 개의 구형 도체 시스템의 경우,^[2]

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12}V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bbb})V}$

두 도체가 동일한 전하와 반대 전하를 운반할 경우,

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\pi _{1}-\pi _{2}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}:{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

도체 시스템은 유사한 대칭 c_ij = c를_ji 가질 수 있다.

참조

• 제임스 점원 맥스웰 (1873년) 전기와 자력에 관한 논문, 제86조, 제89페이지.