클리어 분모

수학에서 분모 정리법은 분모 정리법이라고도 하며, 각각이 이성적 표현의 합계라는 두 가지 표현을 동일시하는 방정식을 단순화하는 기법이다. 즉, 간단한 분수를 포함한다.

예

방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {x}{6}+{\frac {y}{15z}=1.}$

두 분모 6과 15z 중 가장 작은 공통배수는 30z이므로, 한 배수는 양쪽에 30z를 곱한다.

$5xz+2y=30z.\,}$

결과는 분수가 없는 방정식이다.

단순화된 방정식이 원본과 완전히 동등한 것은 아니다. 마지막 방정식에서 y = 0과 z = 0으로 대체하면 양쪽이 모두 0으로 단순화되므로 0 = 0, 수학적 진리를 얻는다. 그러나 원래의 방정식에 적용된 동일한 치환법은 x/6 + 0/0 = 1을 낳는데, 수학적으로 의미가 없다.

설명

일반성을₁ 상실하지 않으면₂ 방정식 E = E가₁₂ E - E = 0 형식으로 동등하게 다시 작성될 수 있으므로 방정식의 오른쪽이 0이라고 가정할 수 있다.

그러니까 방정식이 그 형태를 갖도록 하자.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

첫 번째 단계는 이러한 분수의 공통 분모 D(가능한 한 Q의_i 최소 공통분모)를 결정하는 것이다.

즉, 각 Q는_i D의 인자가므로, 분수가 아닌 일부 표현식_i R의 경우 D = RQ를_ii 의미한다. 그러면

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}}{R_{i}Q_{i}}}}={\frac {R_{i}P_{D}}}}\}}}}}}}}}}}$

만약 RQ가_ii 값 0을 가정하지 않는다면, 이 경우 D도 0과 같다.

그래서 우리는 지금 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

D가 값 0을 가정하지 않는 경우, 후자의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i_{i}P_{i}=0\}}$

분모가 사라진 곳이지

단서(provisos)에서 알 수 없는 방정식의 함수로 간주되는 D의 0을 가짜 해법으로 도입하지 않도록 주의해야 한다.

예 2

방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}+{\frac {1}{x(x+2)}-{\frac {1}{(x+1)}}}=0.}$

최소 공통분모는 x(x + 1)(x + 2)이다.

위에서 설명한 방법을 따르면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

이를 더욱 단순화하면 솔루션 x = -3을 얻을 수 있다.

x(x + 1)(x + 2)의 0, 즉 x = 0, x = -1, x = -2의 0은 최종 방정식의 해법이 아니므로 가짜 해법이 도입되지 않았음을 쉽게 확인할 수 있다.

참조

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Algebra: Beginning and Intermediate (3 ed.). Cengage Learning. p. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.