확률분포의 특성화

일반적으로 수학에서 특성화 정리는 특정 물체, 즉 함수, 공간 등만이 그 정리에 명시된 속성을 가지고 있다고 말한다.그에 따라 확률 분포의 특성화는 그것이 지정된 조건을 만족하는 유일한 확률 분포라고 명시한다.보다 정확히 말하면 확률분포의 특성화 모델은 V.M. 졸로타레프가 ^[ru][1] 그런 식으로 기술했다.On the probability space we define the space ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\}}$ of random variables with values in measurable metric space ${\displaystyle (U,d_{u})}$ and the space ${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\{Y\}}$ of random variables with values in measurable metric space ${\displaystyle }$${\displaystyle (V,d_{v})}$. By characterizations of probability distributions we understand general problems of description of some set ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in the space ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ by extracting the sets ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal$${X}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$ which describe the properties of random variables ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$ and their images ${\displaystyle Y=\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}}$, obtained by means of a specially chosen mapping ${\displaystyle \mathbf{F}:\mathcal{X}}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Y\mathcal{}}$ ${\$
The description of the properties of the random variables ${\displaystyle X}$ and of their images ${\displaystyle Y=\mathbf {F} X}$ is equivalent to the indication of the set ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$ from which ${\displaystyle X}$ must be taken and of the set ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{B}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y\mathcal{}}$ ${\$이(가) 그 이미지가$$ 들어가야 한다.따라서, 우리의 관심사는 다음과 같은 형태로 나타난다.

${\displaystyle X\in {\mathcal {A},\mathbf {F}X\in {\mathcal {B}\좌우 이동 X\in {\mathcal {C}, 즉.{\mathcal{C}=\mathbf {F}^{-1}{\mathcal {B},}$

여기서 $F{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ B ${\${$B$$}}$은(는) $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 $있는{\displaystyle \mathcal{}}$ B ${\$mathcal {B$}$의 완전한 역 영상을 의미한다$.$ 이것은 확률 분포 특성화 모델이다.특성화 이론의 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 두 개의 선형(또는 비선형) 통계량이 동일하게 분포되어 있다는 가정(또는 독립적이거나 항상성 회귀 분석 등을 가지고 있다는 가정)^[2]을 사용하여 다양한 모집단을 특성화할 수 있다.만약 X1{\displaystyle X_{1}}및 X2{\displaystyle X_{2}예를 들어, 조지 Pólya's[3]특성화 정리, 한정된 가변성과}독립심 같은 분산된 확률 변수, 통계 S1)X1{\displaystyle S_{1}=X_{1}}과 따라 S2)X1+X2.${\$$$$}}{\sqrt{2}}:$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle X_{2}}:$ 평균이 0인 정규 분포를 갖는$$ 경우에만 동일하게 분포한다$$.이 경우

=[ / / ${\${2$}}/{bmatrix$

${\displaystyle \mathcal{A}}$ ${\$은(는) 독립적으로 분포된 구성요소를 가진 랜덤 2차원 컬럼 벡터 집합이고$$, $B{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal${$B}$은(는) 동일한 분산 구성요소를 가진 랜덤 2차원 컬럼 벡터 집합이며$,$ $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$}은 2di 집합이다$$.독립적으로 분포된 정상 구성 요소를 가진 maccumn 열 벡터.

• 일반화된 조지 포여의 특성화 정리(만약 X1, X2,…, Xn{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}에 따르면 있non-degenerate 독립적인 동등하게 분산된 확률 변수, 통계학은 X1{\displaystyle X_{1}}1및 X1+a 2${\displaystyle a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n}}$ are identically distributed and ${\displaystyle \left a_{j}\right\vert <1,a_{1}^{2}+a_{2$$}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=1$ ${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ ${\displaystyle X_{}}$ j ${\$는 j${\displaystyle ,}$ j${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ n ${\displaystyle j,j=1,2,\dots,n}$에 대한 일반 랜덤 변수다$.$ 이 경우.

=[ 1 … 0 … ${\$}&a_{n$}\dots &a_{n}\end{bmatrix$

${\displaystyle \mathcal{A}}$ ${\$은(는) 독립적으로 분포된 구성요소를 가진 랜덤 n차원 컬럼 벡터 집합이고, B${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal$${B}$은(는) 동일하게 분포된 구성요소를 가진 랜덤 2차원 컬럼 벡터 집합이며, $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 n-dimen 집합이다.독립적으로 분포된 정상 구성 요소를 가진 시온 열 벡터.^[4]

• 메모리가 없는$$ 하프라인${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$의 모든 확률 분포는 지수 분포다."메모리 없음"은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 그러한 분포를 갖는 임의 변수인$$ 경우 0 < < x{\$displaystyle$ 0$>,$

( > > y)= ( > - y) ${\displaystyle \Pr(X>x\mid X >y)=\Pr(X>x-y$

실제로 특성화 이론의 조건 검증은 일부 오류 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon },$즉 일정 정도 정확도까지만 가능하다.^[5]예를 들어 크기가 유한한 표본을 고려하는 경우 그러한 상황이 관찰된다.그래서 다음과 같은 자연스런 의문이 생기는 것이다.특성화 정리의 조건이 정확히 충족되는 것이 아니라 대략적으로 충족된다고 가정해 보자.정리의 결론도 대략적으로 충족된다고 주장할 수 있을까?이러한 종류의 문제를 고려하는 이론들을 확률 분포의 안정성 특성화라고 한다.

참고 항목

• 특성화(수학)

참조