더 큰 원 안에 놓여 있고 그것에 접하는 네 개의 비 교차 원 위에.
수학 에서 일반화된 프톨레마이오스의 정리 라고도 알려진 케이시의 정리 는 아일랜드의 수학자 존 케이시의 이름을 딴 유클리드 기하학 의 정리다.
정리의 공식화 t 12 ⋅ t 34 + t 14 ⋅ t 23 − t 13 ⋅ t 24 = 0 {\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0} Let O {\displaystyle \,O} R {\displaystyle \,R} O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} O {\displaystyle \,O} t i j {\ displaystyle \,t_{ij} 표시 한다, O j {\ displaystyle \,O_{i},O_{j 다음:[1]
t 12 ⋅ t 34 + t 14 ⋅ t 23 = t 13 ⋅ t 24 . {\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}. } 네 개의 원이 모두 점으로 줄어드는 퇴행적인 경우에서 이것은 정확히 프톨레마이오스의 정리 라는 점에 주목하라.
증명 다음 증명은 자차리아스에 기인한다[2] [3] Denote the radius of circle O i {\displaystyle \,O_{i}} R i {\displaystyle \,R_{i}} O {\displaystyle \,O} K i {\displaystyle \,K_{i}} O , O i {\displaystyle \,O,O_{i}} 참고로 피타고라스의 정리로는
t i j 2 = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}} 우리는 이 길이를 Ki , K {\ displaystyle K_{i}, K_{j}} 코사인 법칙 으로 표현 . OO_{j
O i O j ¯ 2 = O O i ¯ 2 + O O j ¯ 2 − 2 O O i ¯ ⋅ O O j ¯ ⋅ cas ∠ O i O O j {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i} OO_{j}} 원 O O i {\ displaystyle \,O,O_{i}}
O O i ¯ = R − R i , ∠ O i O O j = ∠ K i O K j {\displaystyle {\overline {OO_{i}}=R-R_{i}\,\angle O_{i} OO_{j}=\angle K_{i} OK_{j}} C {\displaystyle \,C} O {\displaystyle \,O} 점 이 되게. Ki C j {\ displaystyle \,K_{i}CK_{j}}
K i K j ¯ = 2 R ⋅ 죄를 짓다 ∠ K i C K j = 2 R ⋅ 죄를 짓다 ∠ K i O K j 2 {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}=2R\cdot \sin \angle K_{i} CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i} OK_{j}:{2}}:} 그러므로
cas ∠ K i O K j = 1 − 2 죄를 짓다 2 ∠ K i O K j 2 = 1 − 2 ⋅ ( K i K j ¯ 2 R ) 2 = 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 {\displaystyle \cos \angle K_{i} OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i} OK_{j}}}{{2}}=1-2\cdot \left({K_{i}K_{j}}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline{K_{i}K_{j}}}}^{2}}:{{2}}:{{{{2}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{2}}}}}}}} R^{2}}:}} 위 공식에서 이를 대체한다.
O i O j ¯ 2 = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) ( 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 ) {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2 R^{2}}}\오른쪽)} O i O j ¯ 2 = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} O i O j ¯ 2 = ( ( R − R i ) − ( R − R j ) ) 2 + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} 그리고 마지막으로, 우리가 찾는 길이는
t i j = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 = R − R i ⋅ R − R j ⋅ K i K j ¯ R {\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}} 이제 우리는 원래의 프톨레마이오스 정리 의 도움을 받아 새겨진 4각형 1 K K 3 4 displaystyle K_{ K_{2}K_{3}K_{4
t 12 t 34 + t 14 t 23 = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 2 ¯ ⋅ K 3 K 4 ¯ + K 1 K 4 ¯ ⋅ K 2 K 3 ¯ ) = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 3 ¯ ⋅ K 2 K 4 ¯ ) = t 13 t 24 {\displaystyle{\begin{정렬}&, t_ᆬt_ᆭ+t_ᆮt_ᆯ\\[4pt]={}&,{\frac{1}{R^{2}}}\cdot{\sqrt{R-R_{1}}}{\sqrt{R-R_{2}}}{\sqrt{R-R_{3}}}{\sqrt{R-R_{4}}}\leftᆪ\\[4pt]={}&,{\frac{1}{R^{2}}}\cdot{\sqrt{R-R_{1}}}{\sq.rt{R-R_{2}} }{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}} 추가 일반화 네 개의 원이 큰 원 안에 누워 있을 필요는 없다는 것을 알 수 있다. 사실, 그들은 또한 외부에서 그것에 접해 있을 수도 있다. 이 경우 다음과 같이 변경해야 한다.[4]
Oi O j {\ displaystyle \,O_{i},O_{j}} O {\displaystyle O} t i j {\ displaystyle \,t_{ij}}
Oi O j {\ displaystyle \,O_{i}, O_{ j}} 서로 i j {\ displaystyle \,t_{ij}}
케이시의 정리의 반대도 사실이다.[4] 즉, 평등이 유지된다면, 그 원들은 공통의 원에 접하는 것이다.
적용들 케이시의 정리와 그 반전은 유클리드 기하학 에서 다양한 진술을 증명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, Feuerbach의 정리 에 대해 알려진 가장 짧은 증거는[1] : 411
참조 ^ a b Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy . 9 : 396–423. JSTOR 20488927 . ^ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde . (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). ^ Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 52 : 79–89. ^ a b Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry . Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry). 외부 링크 
. O
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3293ace55a8f18b5d3bacff95333c091f91ac1d)
