아브라모프의 알고리즘

수학에서, 특히 컴퓨터 대수에서, 아브라모프의 알고리즘은 다항식 계수를 가진 선형 재발 방정식의 모든 이성적인 해결책을 계산한다.이 알고리즘은 세르게이 A에 의해 출판되었다.1989년 ^[1][2]아브라모프

범용분모

아브라모프 알고리즘의 주요 개념은 보편적 분모다.$K\mathbb{}$ ${\$를) 특성 0의 필드가 되도록$$ 한다.분산 $\mathrm{디스플레}(p$ ,$q$) ${\textstyle \operatorname {dis}(p,q)$의 두 다항식 $p,$ q [$n],$ $[\textstyle p,q\in \mathb {K}은($으)로 정의된다$$.

여기서 $N\mathbb{}$ ${\$은$($는) 음이 아닌 정수 집합을 의미한다.따라서 분산은 $다항식\mathbb{}$ $p$ ${\textstyle p}$과(와) $k$ ${\textstyle k}$ -time$$ shifted $q$ {\$displaystyle$q}이(가) 공통 인자를 가질$$ 수 있는$$ 최대 $k$ $∈$ N ${\$ k$}$이다.이러한 $k$ ${\textstyle k}$이(가) 없는$$ 경우$$$$- $1$ ${\textstyle$ -1$}$이다.그 분산 이로 인한 재산 n⁡(p(n)의 가장 큰 음이 아닌 정수 뿌리,q(n+k))로 ∈ K[k]{\textstyle \operatorname{물}_ᆷ(p(n),q(n+k))\in\mathbb{K}[k]}.[3][4]자∑ k=0rpkm그리고 4.9초 만(n)((n+k))f({\textstyle \sum_{k=0}(n)\,y(n+k)=f(n)}가 되recurre 계산할 수 있다.encequation of order ${\textstyle r}$ with polynomial coefficients ${\displaystyle p_{k}\in \mathbb {K} [n]}$, polynomial right-hand side ${\textstyle f\in \mathbb {K} [n]}$ and rational sequence solution ${\textstyle y(n)\in \mathbb {K} (n)}$. It is possible to write $$${\textstyle y(n)=p(n)/q(n)}$ for two relatively prime polynomials ${\textstyle p,q\in \mathbb {K} [n]}$. Let ${\textstyle D=\operatorname {dis} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))}$ and여기서$$[ $p$($n$ )${}^{]}$ ${k\underset{}{}}^{}$ ${\underset{}{\_}}^{}$ =$p$($n$ -$1$ ) p$$( n - 1 ) $p$($n$ -$$k + 1) p (n - $k$ + $){\textstyle [p(n)]^{\c}=p(n-1$)\$cdots p($n-k$+1)}}$는 함수의 하강 요인(하)을 나타낸다$$.그러면 $q$($n$) ${\textstyle$ $q$$(n)}$이(가) $u($n$)$ {\$textstyle$u($n)}$을(^[5]를) 나눈다$.$ 따라서 $다항식$ u $(n)${\$textstyle$ $u(n)}$은 모든 합리적인 $해결책$y $(n$ ) ${\textstyle$ y$(n)$에 대한 분모로 사용할 수 있으며$$$$, 따라서 보편분모라고 불린다.

알고리즘.

다시 $\sum \underset{k}{\overset{}{}}$= 0 $\underset{}{\overset{}{\mathrm{r}}}$ $p_{}$ k${}_{}$($n$) y ($n$+ k$)$= $f$ $(n$) ${\textstyle \sum _{k=0}^{rp_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$은 다항계수를 갖는 재발 방정식이 되고$$ $u$($n$) ${\textstytyley u(n$)는 범용분모가 된다.After substituting ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ for an unknown polynomial ${\textstyle z(n)\in \mathbb {K} [n]}$ and setting ${\textstyle \ell (n)=\operatorname {lcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$ the recurrence equation is equivalent to

$u(n$+ $k$) ${\textstyle u(n+k)}$이(가) 취소함에 따라 이는 다항식 계수를 갖는 선형적 재발 방정식으로, 알 수 없는 다항식 $z(n$ )$${\$textyle z($n$)\}$에 대해 해결할 수 있다. 다항식 솔루션을 찾는 알고리즘이 있다.$그러면$ z$$( $n$) ${\textstyle z($$n$$)}$에 대한 솔루션을 다시 사용하여 합리적인 솔루션 $y$( n$$)$$= z$$( $n$)$$/ $u$($n$ $)$ ${\textstyle$ y$(n)=z(n)/u(n)}$을(를) 계산할 수 있다$$$.$

algorithm rational_solutions is input: Linear recurrence equation ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n),p_{k},f\in \mathbb {K} [n],p_{0},p_{r}\neq 0}$.     output:해결$$ 방법이 있을 $경우$ 일반적인$$합리적 $솔루션$ y {\$textstyle$ y$},$ 그렇지 않을 경우 거짓.${\textstyle D=\operatorname {disp} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))}$ ${\textstyle u(n)=\gcd([p_{0}(n+D)]^$${\underline {D+1}},[p_{r}(n-r)]^{\underline {D+1}})}$ ${\textstyle \ell (n)=\operatorname {lcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$     Solve ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n){\frac {z(n+k)}{u(n+k)}}\ell (n)=f(n)\e$$ll (n)}$ 일반$$ 다항식 $솔루션$ $z$ $(n$$)$ ${\textstyle$ z$(n)}$이$($가) 있는$$ 경우$$ 일반 다항식 $솔루션$ $y(n$ $)$= $z(n)$ /$u(n)${\$textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$을(가) 반환하거나, 잘못된 종료인 경우 반환

예

순서 $1$의 균일한 반복 방정식 ${\textstyle 1}$

$Q\mathbb{}$ ${\$이상에는 합리적인 해결책이 있다$$.산포를 고려하여 계산할 수 있다.이는 다음과 같은 보편 분모를 산출한다.그리고원래 반복 방정식에 $\ell (n$ $)$ ${\textstyle \ell(n)}$을(를) 곱하고$$ $y(n)$= $z(n)$ /$n)$를 대체하면 $다음$과 같다$.$이 방정식에는 임의 $상수$ c$q\mathbb{}$ Q$${\$textstyle c\in \mathb {Q}$에 대한 $다항식$ $솔루션$ z$($$n$$$) = $c${\$textstyle$ $z$$(n)=$$c}$이 있다$.$$$$y(n)$= z$)$/ $(n$를 사용하는 일반적인$$ 합리적 솔루션은 다음과 같다.임의 $c$ $\in$ $Q\mathbb{}$ ${\$$}$ .

참조

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