3SUM

계산 복잡성 이론에서, 3SUM 문제는 $주어진{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$ 실수의$$ 집합이 0에 합한 세 가지 요소를 포함하고 있는지 묻는다.A generalized version, k-SUM, asks the same question on k numbers. 3SUM can be easily solved in ${\displaystyle O(n^{2})}$ time, and matching ${\displaystyle \Omega (n^{\lceil k/2\rceil })}$ lower bounds are known in some specialized models of computation (Erickson 1999).

3SUM에 대한 결정론적 알고리즘에는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle \Oomega (n^{2})$ 시간이$$ 필요하다고 추측했다.2014년, 원래의 3SUM 추측은 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ $2$/ ${\displaystyle (\log }$ ${\displaystyle }$ n${\displaystyle }$/ $log$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \log }$ $⁡ n$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ 3${\displaystyle {}^{}}$)에서 3SUM을 $해결$하는 결정론적 $알고리즘$을 부여한 Allan $Grønund$와 Seth $Pettie$에 의해 $반박되었다.$^[1]또한, Grønlund와 Pettie는 3SUM의 4-선형 의사결정 트리 복잡성이 O${\displaystyle }$(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\displaystyle \sqrt{\log }}$ $){\displaystyle O (n^{3/2}{\sqrt{\\logn$라는 것을 보여주었다.이 한계들은 이후에 개선되었다.^[2][3][4]현재 가장 잘 알려진 3SUM 알고리즘은 $O{\displaystyle ({n\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \log {}^{}{\mathrm{n}}^{}}$ ) O${\displaystyle {}^{}}$( 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle O(n^{2}(\log \log$ n$)^{O(1)/{\log ^{2}n}}$ 시간 단위로$$ 실행된다.^[4]케인, 러브트, 모란은 3SUM의 6-선형 의사결정 트리 복잡성이 O${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $){\displaystyle O(n{n${\log$^{$2}$n}})$라는 것을 보여주었다$.$^[5]후자의 바운드는 단단하다(로그인자까지).3SUM은 $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^{}}$( ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle O(n^{2-\Oomega(1)})$ 예상$$ 시간에서 여전히 확인할 수 없는 것으로 추측된다.^[6]

When the elements are integers in the range ${\displaystyle [-N,\dots ,N]}$, 3SUM can be solved in ${\displaystyle O(n+N\log N)}$ time by representing the input set ${\displaystyle S}$ as a bit vector, computing the set ${\displaystyle S+S}$ of all pairwise sums as a discrete convoFast Fourier 변환을 사용한 lution을 마지막으로 이 집합을 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과$($^[7]와) 비교.

2차 알고리즘

$입력{\displaystyle }$ 배열이 S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \mathrm{0..}}$이라고 가정합시다.${\displaystyle S[0..n-1]}$. In integer (word RAM) models of computing, 3SUM can be solved in ${\displaystyle O(n^{2})}$ time on average by inserting each number ${\displaystyle S[i]}$ into a hash table, and then, for each index ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$, checking whether 해시 테이블에는 정수${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle -$ $(S[i]+)$가 포함되어 있음$S[j]}$ $.$

해싱이 허용되지 않는 비교 기반 컴퓨팅 모델이나 실제 RAM에서도 동시에 문제를 해결할 수 있다.아래 알고리즘은 먼저 입력 어레이를 정렬하고 나서 정렬된 목록에서 쌍을 이진 검색할 필요가 없도록 가능한 모든 쌍을 세심한 순서로 테스트하여 $최악$의 경우 O${\displaystyle ({}^{}}$ $){\displaystyle O(n^{2})$ 시간을$$ 다음과 같이 달성한다.^[8]

Sort(S), 나는 정도 0으로 n- 하는 것은 2a=S[나는], 시작하)나는 + 1;엔드 탭 n-1,(<, 끝 시작하) 하는 b)S[시작하]c)S[끝];만약(a+b+c== 0) 다음 출력 a, b, c;// 계속 검색에 모든 세 쌍둥이 조합 총 망라시키도록 0.//우리는으로 업데이트 하여 두 최종 시작과 함께 이후 array 값은 구별됨. 시작 = 시작 + 1; 끝 = 끝 - 1; 그렇지 않으면(a + b + c > 0) 끝 = 끝 - 1; 다른 시작 = 시작 + 1; 끝

다음 예제는 정렬된 작은 배열에서 이 알고리즘의 실행을 보여준다.a의 전류 값은 빨간색으로 표시되고 b와 c 값은 자홍색으로 표시된다.

-25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-25)  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-22)  . . .  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-7)  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-7)  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-3)  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==2)  -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==0)

알고리즘의 정확성은 다음과 같이 볼 수 있다.솔루션 a + b + c = 0이 있다고 가정합시다. 포인터는 한 방향으로만 이동하기 때문에 가장 왼쪽 포인터가 a를 가리킬 때까지 알고리즘을 실행할 수 있다.나머지 포인터 중 하나가 b 또는 c 중 하나를 가리킬 때까지 알고리즘을 실행한다.그런 다음 알고리즘은 마지막 포인터가 나머지 항을 가리킬 때까지 실행되며, 긍정 솔루션을 제공한다.

변형

0이 아닌 합

합이 0인 숫자를 찾는 대신, 다음과 같은 방법으로 합이 상수 C인 숫자를 찾을 수 있다.

• 입력 배열의 모든 요소에서 C/3을 빼십시오.
• 수정된 배열에서 합이 0인 3개의 요소를 찾으십시오.

For e.g., if A=[1,2,3,4] and if you are asked to find 3sum for C=4, then subtract all the elements of A by 4/3 and solve it in the usual 3sum way, i.e., ${\displaystyle (a-C/3)+(b-C/3)+(c-C/3)=0}$

또는 해시 테이블에서 정수$({\displaystyle C}$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle ]}$)${\displaystyle(C-(S[i]+)$를 검색하도록 원래의 알고리즘을 간단히 수정할 수도 있다.$S[j]}}$.

3개의 배열

단일 배열에서 숫자 3개를 검색하는 대신 3개의 배열에서 검색할 수 있다.즉, X, Y, Z 배열 3개를 지정하면 +${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle \mathrm{c}}$= 0 ${\displaystyle a+b+c=0}$과 같이 X, b∈Y, c∈Z의 세 숫자를 찾으십시오$.$ 1 어레이 변형 3SUM×1과 3 어레이 변형 3SUM×3을 호출하십시오.

3SUM×1에 대한 해결사가 주어질 경우, 3SUM×3 문제는 다음과 같은 방법으로 해결될 수 있다(모든 요소가 정수라고 가정).

• For every element in X, Y and Z, set: ${\displaystyle X[i]\gets X[i]*10+1}$, ${\displaystyle Y[i]\gets Y[i]*10+2}$, ${\displaystyle Z[i]\gets Z[i]*10-3}$.
• S를 배열 X, Y, Z의 결합으로 한다.
• 3SUM×${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \text{오라클}}$을 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{oracle}}$ S,${\displaystyle }$b ${\displaystyle \prime }$ S${\displaystyle ,}$ c ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle \text{S}}$의 세 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$를$$찾으십시오. find + b${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$=$0$ a$'\in S,\$$b'\in$ $S,\'\in S}$의 세 $요소$를 $찾으십시오$
• ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle {(\prime }^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle \text{b}}$ ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle (\mathrm{b}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$- 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle \text{c}}$ ${\displaystyle \leftarrow }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle a\gets (a'-1)/10,\b'-gets (b'-2)/10,\c\gets (c'+3)/10}$을 반환한다$.$

우리가 배열을 변환한 방식에 따르면, a∈X, b∈Y, c∈Z가 보장된다.^[9]

콘볼루션 합계

다음과 같은 어레이의 임의 요소를 찾는 대신:

$S[k]=S[i]+S[j]}$

콘볼루션 3섬 문제(Conv3SUM)는 특정 위치에서 요소를 찾는다.^[10]

$(\displaystyle S[i+j]=S[i]+S[j]}$

Conv3에서 감소SUM to 3SUM

3SUM을 위한 해결사 제공, 컨벤트3SUM 문제는 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있다.^[10]

• 모든 인덱스 i에 $대해{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ i ${\displaystyle T[i]=2nS[i]+i}($여기서 n은 배열의 요소 수이고 인덱스는 0에서 n-1까지 실행됨)로 새 어레이 T를 정의하십시오.
• 어레이 T에서 3SUM을 해결하십시오.

정확성 증명:

• $원래{\displaystyle }$ 배열에서 S${\displaystyle }$[ i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ ${\displaystyle S}$ [${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle S[i+j]=$가 있는 트리플이 있는 경우$S[$${\displaystyle i}$$]+S[j$ $다음{\displaystyle }$ T [${\displaystyle }$i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j]}$ = ${\displaystyle \mathrm{2n}}$S [ i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j]}$ + ${\displaystyle j}$= ( ${\displaystyle \mathrm{2n}}$S [ ${\displaystyle i]}$ + ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$+ ( ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle j]}$ +${\displaystyle J}$) = ${\displaystyle T}$[ ${\displaystyle i}$]${\displaystyle }$+ ${\displaystyle J}$[\$displaystyle$T$] {\i+j]=2n$$S[i+j]+i+j=(2nS[i]+i)+(2nS[j]+j)=$$T[i]+T[j]}$ 그러므로 이 솔루션은 T의 3SUM에 의해 발견될 것이다$.$
• 반대로, 새로운 배열에서 $T{\displaystyle }$[ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$= T${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ T${\displaystyle }$[ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle T[k]=$가 있는 트리플이 있다.$T[i]+T[j$ 그 다음 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$+ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2n}}$(${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ ${\displaystyle S}$ [ ${\displaystyle J]}$+ (${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle 2nS[k][k]+k=2n(S[$i]]+)++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++$S[j]+(i+j)}$.+ < ${\displaystyle i+j<2n}$때문에 반드시 $S{\displaystyle }$[ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$+ ${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle S[k]=$가 필요하다.$S{\displaystyle }$$[i]+S[j]}$ 및$$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k=i+j$ 따라서 이것은 Conv3에 유효한 솔루션이다.SUM on S.

3SUM에서 Conv3으로 감소SUM

Conv3SUM에 대한 해결사가 주어지면, 3SUM 문제는 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있다.^[6][10]

감소는 해시함수를 사용한다.첫 번째 근사치로, 다음과 같은 선형 해시함수를 가지고 있다고 가정한다.

${\displaystyle h(x+y)=h(x)+h(y)}$

모든 요소가 0... 범위의 정수라고 가정합시다.N-1, 그리고 함수 h가 각 요소를 더 작은 범위의 인덱스에 있는 요소에 매핑하는 것: 0...n-1. 새 어레이 T를 생성하고 S의 각 요소를 T의 해시 값으로 보내십시오. 즉, S(${\displaystyle \mathrm{}x}$ x ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle \forall x\in$ S$}):$

${\displaystyle T[h(x)=x}$

처음에는 매핑이 고유하다고 가정하십시오(즉, T의 각 셀은 S의 단일 요소만 허용).컨벤3 해결SUM on T.지금:

• 3SUM에 대한${\displaystyle }솔루션$이 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 경우${\displaystyle :}$ ${\displaystyle z}$= x + y {\$displaystyle$ z$=$x+$y},$${\displaystyle T[h(z)]$$=T[h(x)]+$$T[h(y)]}$ 및$$ $h{\displaystyle }$(${\displaystyle z}$) = ${\displaystyle h}$(${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle h(z)=h(x)+h(y$ 따라서 이 용액은 Conv3에 의해 발견될 것이다.SUM 해결사 T.
• 반대로, 만약 콘벤트3가 있다면SUM은 T에서 발견되며, T는 S의 순열일 뿐이기 때문에 S의 3SUM 솔루션에 해당된다.

해시함수는 S의 몇 가지 구별되는 요소들을 T의 동일한 셀에 매핑할 수 있기 때문에 이 이상적인 솔루션은 작동하지 않는다.T의 각 셀에서 하나의 임의 원소를 선택하여$$ 배열 $∗{\$를 만들어 Conv3을 실행하는 것이 요령이다.SUM on $∗{\$ 솔루션이 발견되면 S에 3SUM에 맞는 솔루션이다.용액이 발견되지 않으면 다른 랜덤 $∗{\$를 생성하고 다시$$ 시도하십시오.T의 각 셀에는 최대 R 요소가 있다고 가정합시다.그러면 솔루션을 찾을 확률(솔루션이 존재하는 경우)은 무작위 선택이 각 셀로부터 정확한 요소를 선택할 확률로, 즉${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle /{}^{}R}$ ) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ Conv3SUM $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ R$^{3}}}}$를 실행하면 높은 확률로 솔루션을 찾을 수 있을 것이다.

불행히도 우리는 선형 완벽한 해싱이 없기 때문에 거의 선형 해시함수, 즉 다음과 같은 함수 h를 사용해야 한다.

${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle h(x+y)=h(x)+h(y)}$ 또는$$

${\displaystyle h(x+y)=h(x)+h(y)+1}$

This requires to duplicate the elements of S when copying them into T, i.e., put every element ${\displaystyle x\in S}$ both in ${\displaystyle T[h(x)]}$ (as before) and in ${\displaystyle T[h(x)]-1}$. So each cell will have 2R elements, and we will have to run Conv3SUM ${\d$$isplaystyle(2R)^{3}$회$$.

3SUM 강직성

문제는 3SUM-hard라고 불리는데, 만약 그것을 2차 시간 내에 푸는 것이 3SUM에 대한 하위 시간 알고리즘을 의미한다면 말이다.3SUM-hardeness의 개념은 Gajenta & Overmars(1995)에 의해 도입되었다.그들은 연산 기하학에서 많은 종류의 문제가 다음의 문제들을 포함하여 3SUM-힘드다는 것을 증명했다.(저자들은 이러한 문제들 중 많은 것들이 다른 연구자들에 의해 기여된다는 것을 인정한다.)

• 비행기에서 일련의 선을 볼 때, 한 점에서 만나는 세 가지가 있는가?
• 교차되지 않는 축-병렬 선 세그먼트의 세트가 주어진 경우, 비어 있지 않은 두 개의 하위 집합으로 구분되는 선이 있는가?
• 평면에 무한 스트립 세트가 주어진 경우, 주어진 직사각형을 완전히 덮는가?
• 비행기에 삼각형 한 세트를 주어, 그들의 치수를 계산하라.
• 비행기에 삼각형 세트가 있으면, 그들의 조합에 구멍이 있는가?
• 예를 들어, 가시성 및 모션 계획 문제.
  • 공간의 수평 삼각형 세트를 지정하면 특정 지점에서 특정 삼각형을 볼 수 있는가?
  • 평면 내에 일련의 비절연 축 평행선 세그먼트 장애물이 있을 경우, 장애물과 충돌하지 않고 출발 위치와 결승 위치 사이의 변환과 회전으로 주어진 로드를 이동할 수 있는가?

지금쯤 이 범주에 속하는 수많은 다른 문제들이 있다.예를 들어 X + Y 정렬의 결정 버전이 있다. 주어진 숫자 X와 Y의 집합은 각각 n²로 구분되는 X와 Y이며, x ∈ X, y ∈ Y가 있는가?^[11]

참고 항목

• 부분집합 문제

메모들

참조

• Kane, Daniel M.; Lovett, Shachar; Moran, Shay (2018). "Near-optimal linear decision trees for k-SUM and related problems". Proceedings of the 50th Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing (STOC): 554–563. arXiv:1705.01720. doi:10.1145/3188745.3188770. ISBN 9781450355599.
• Chan, Timothy M. (2018), "More Logarithmic-Factor Speedups for 3SUM, (median, +)-Convolution, and Some Geometric 3SUM-Hard Problems", Proceedings of the Twenty-Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA): 881–897, doi:10.1137/1.9781611975031.57, ISBN 978-1-61197-503-1
• Grønlund, A.; Pettie, S. (2014). Threesomes, Degenerates, and Love Triangles. 2014 IEEE 55th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. p. 621. arXiv:1404.0799. Bibcode:2014arXiv1404.0799G. doi:10.1109/FOCS.2014.72. ISBN 978-1-4799-6517-5.
• Freund, Ari (2017), "Improved Subquadratic 3SUM", Algorithmica, 44 (2): 440–458, doi:10.1007/s00453-015-0079-6.
• Gold, Omer; Sharir, Micha (2017), "Improved Bounds for 3SUM, k-SUM, and Linear Degeneracy", In Proc. 25th Annual European Symposium on Algorithms (ESA), LIPIcs, 87: 42:1–42:13, doi:10.4230/LIPIcs.ESA.2017.42
• Baran, Ilya; Demaine, Erik D.; Pătraşcu, Mihai (2008), "Subquadratic algorithms for 3SUM", Algorithmica, 50 (4): 584–596, doi:10.1007/s00453-007-9036-3.
• Demaine, Erik D.; Mitchell, Joseph S. B.; O'Rourke, Joseph (July 2005), "Problem 11: 3SUM Hard Problems", The Open Problems Project, archived from the original on 2012-12-15, retrieved 2008-09-02.
• Erickson, Jeff (1999), "Lower bounds for linear satisfiability problems", Chicago Journal of Theoretical Computer Science, MIT Press, 1999.
• Gajentaan, Anka; Overmars, Mark H. (1995), "On a class of O(n²) problems in computational geometry", Computational Geometry: Theory and Applications, 5 (3): 165–185, doi:10.1016/0925-7721(95)00022-2, hdl:1874/17058.
• King, James (2004), A survey of 3SUM-hard problems (PDF).